\(Description\)
给定\(n\)个数\(A_i\)。求它有多少个子集，满足能被划分为两个和相等的集合。
\(n\leq 20,1\leq A_i\leq10^8\)。
\(Solution\)
显然我们要预处理哪些集合可以被划分为两个和相等的集合。每个元素三种状态，这样我们就可以得到一个\(O(3^n)\)的做法。。
显然不行啊，但是和相等这种东西可以折半啊！
将序列分成两半分开DFS。这样两个和相等的集合\(S_1,S_2\)中的元素可能会被分开。设\(a\)为\(S_1\)在前一半中序列的元素的和，\(b\)为\(S_1\)在后一半序列中的元素的和；\(c,d\)分别为\(S_2\)在前一半/后一半序列中元素的和。那么有\(a+b=c+d\to a-c=d-b\)。所以我们统计两半序列中哪些\(a-c\)相等的集合就可以了。
和为\(a-c\)的集合可能有多个，直接\(Hash/map+vector\)存一下有哪些集合就可以了（这题集合可以直接二进制状压）。
复杂度是不是还会被卡到\(O(6^{\frac n2})\)啊。。在SPOJ是T了，但能过BZOJ。
其实合并状态可以sort后线性合并，就快很多了。（不对啊，感觉复杂度差不多啊==，我hash写太丑了？）
当然这也不是正解，还有更快的，比如：https://blog.csdn.net/u014609452/article/details/51872702
//7132kb 2584ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 20000000
typedef long long LL;
const int N=61005;//为啥60005在BZOJ上RE啊，自测可过。
int n,mid,cnt,A[23],Enum,H[(1<<20)+5],sum[N],nxt[N];
bool vis[(1<<20)+5];
struct Node
{
int s,sum;
bool operator <(const Node &x)const
{
return sum<x.sum;
}
}rs[N];
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
inline void AE(int s,int Sum)
{
sum[++Enum]=Sum, nxt[Enum]=H[s], H[s]=Enum;
}
void DFS1(int x,int s,int sum)
{
if(x<0) {AE(s,sum); return;}
DFS1(x-1,s,sum), DFS1(x-1,s|(1<<x),sum+A[x]), DFS1(x-1,s|(1<<x),sum-A[x]);
}
void DFS2(int x,int s,int sum)
{
if(x==n) {rs[++cnt]=(Node){s,sum}; return;}
DFS2(x+1,s,sum), DFS2(x+1,s|(1<<x),sum+A[x]), DFS2(x+1,s|(1<<x),sum-A[x]);
}
int main()
{
static int lsum[N];
n=read(),mid=n>>1;
for(int i=0; i<n; ++i) A[i]=read();
DFS1(mid-1,0,0), DFS2(mid,0,0);
std::sort(rs+1,rs+1+cnt);
for(int s=0,l=1<<mid; s<l; ++s)
{
int t=0;
for(int i=H[s]; i; i=nxt[i]) lsum[++t]=sum[i];
std::sort(lsum+1,lsum+1+t);
for(int i=1,now=1; i<=cnt; ++i)
{
while(now<=t && lsum[now]<rs[i].sum) ++now;
if(now>t) break;
if(lsum[now]==rs[i].sum) vis[rs[i].s|s]=1;
}
}
int ans=0;
for(int i=1,l=1<<n; i<l; ++i) ans+=vis[i];//同一个集合会算重啊
printf("%d\n",ans);
return 0;
}在SPOJ上T掉的：
//89344kb 7060ms
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#define gc() getchar()
#define mod 20000000
typedef long long LL;
const int N=61005;
int n,mid,A[23];
bool vis[(1<<20)+5];
struct Hash_Table
{
int delta,Enum,H[mod+2],nxt[N],s[N]; LL sum[N];//可能冲突 再存一下sum
inline void Insert(int S,LL Sum)
{//注意和可能是负的（加一个mod不就好了==）
int x=(Sum+delta)%mod;
s[++Enum]=S, sum[Enum]=Sum, nxt[Enum]=H[x], H[x]=Enum;
}
inline void Solve(int S,LL Sum)
{
int x=(Sum+delta)%mod;
for(int i=H[x]; i; i=nxt[i])
if(sum[i]==Sum) vis[S|s[i]]=1;
}
}hs;
inline int read()
{
int now=0;register char c=gc();
for(;!isdigit(c);c=gc());
for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
return now;
}
void DFS1(int x,int s,LL sum)
{
if(x==mid) {hs.Insert(s,sum); return;}
DFS1(x+1,s,sum), DFS1(x+1,s|(1<<x),sum+A[x]), DFS1(x+1,s|(1<<x),sum-A[x]);
}
void DFS2(int x,int s,LL sum)
{
if(x==n) {hs.Solve(s,sum); return;}
DFS2(x+1,s,sum), DFS2(x+1,s|(1<<x),sum+A[x]), DFS2(x+1,s|(1<<x),sum-A[x]);
}
int main()
{
n=read(),mid=n>>1; int s=0;
for(int i=0; i<n; ++i) s+=A[i]=read();
hs.delta=s, DFS1(0,0,0), DFS2(mid,0,0);
int ans=0;
for(int i=1,l=1<<n; i<l; ++i) ans+=vis[i];//同一个集合会算重啊
printf("%d\n",ans);
return 0;
}