Balanced Cow Subsets G【折半搜索】【状压】

>Link

luogu P3067

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>Description

给n个数，从中任意选出一些数，使这些数能分成和相等的两组。
求有多少种选数的方案。

$N\le 20,a_i\le 10^8$

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>解题思路

考虑普通的爆搜，用一个$sum$表示当前的离两组相等的“差值”，每个数就有三种状态：

1. 不选，$sum$不变
2. 选进第一组，$sum+a_i$
3. 选进第二组，$sum-a_i$

最后 $sum=0$ ，说明两组的和是相等的

但是 $O(3^{20})$ 会T，所以上折半搜索
我们搜两遍，如果第一遍的$sum$加第二遍的$sum$为0的话就是一个合法的方案
因为题目要求的是选数的方案（选的数都是一样的，分组不同算同一种方案），所以我们还要带上当前选了哪些数的状态，$N$很小，我们可以用一个状压来保存

对于第二遍的结果 $su{m}_2$，我们要找 $su{m}_1=-su{m}_2$ 的所有状态，然后枚举一遍这些合法的状态，把两遍的状态合到一起在相应的位置标记一下，最后在扫一遍所有状态累计答案，这样可以避免重复的方案
所以我们就在每个$sum$建一个vector，把相同$sum$的状态都放进去
因为 $sum\le 20\ast 10^8$，直接每个开个vector空间肯定会爆，所以我们就给依次出现的$sum$标个号，防止开不会用到的vector

对$sum$标号，就用一个map来存（这样每个开个map不会爆）
有几个很坑的点：map不同于数组，每次调用费时会多！！！所以如果要重复调用map里的同一个值，就先把它拿个变量存，然后用变量！！！求vector的size也一样！！！

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>代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <vector>
#define N 30
#define LL long long
using namespace std;

map<int, int> id;
vector<int> q[2000000];
int n, tot, a[N];
LL ans;
bool ok[2000000];

void dfs1 (int now, int sum, int qq)
{
    
    
	if (now > n / 2)
	{
    
    
		if (!qq) return;
		if (!sum) ok[qq] = 1;
		if (!id[sum]) id[sum] = ++tot;
		q[id[sum]].push_back (qq);
		return;
	}
	dfs1 (now + 1, sum, qq);
	dfs1 (now + 1, sum + a[now], qq | (1 << (now - 1)));
	dfs1 (now + 1, sum - a[now], qq | (1 << (now - 1)));
}
void dfs2 (int now, int sum, int qq)
{
    
    
//	printf ("%d\n", qq);
	if (now > n)
	{
    
    
		if (!qq) return;
		if (!sum) ok[qq] = 1;
		if (id[sum])
		{
    
    
			int len = q[id[sum]].size(), x = id[sum];
			for (int i = 0; i < len; i++)
			  ok[qq | q[x][i]] = 1;
		}
		return;
	}
	dfs2 (now + 1, sum, qq);
	dfs2 (now + 1, sum + a[now], qq | (1 << (now - 1)));
	dfs2 (now + 1, sum - a[now], qq | (1 << (now - 1)));
}

int main()
{
    
    
	scanf ("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf ("%d", &a[i]);
	dfs1 (1, 0, 0);
	dfs2 (n / 2 + 1, 0, 0);
	for (int i = 1; i <= (1 << n); i++)
	  ans += ok[i];
	printf ("%lld", ans);
	return 0;
}