作者:任泽
引言
R树的索引的思想其实就是先找一个大的空间,再逐步缩小所要查找的空间,最终在一个自己设定的最小不可分空间内找出满足要求的解。
1. R树的数据结构
R树是B树在高维空间的扩展,是一棵平衡树。每个R树的叶子结点包含了多个指向不同数据的指针,这些数据可以是存放在硬盘中的,也可以是存在内存中。根据R树的这种数据结构,当我们需要进行一个高维空间查询时,我们只需要遍历少数几个叶子结点所包含的指针,查看这些指针指向的数据是否满足要求即可。这种方式使我们不必遍历所有数据即可获得答案,效率显著提高。下图1是R树的一个简单实例:
我们在上面说过,R树运用了空间分割的理念,这种理念是如何实现的呢?R树采用了一种称为MBR(Minimal Bounding Rectangle)的方法,在此我把它译作“最小边界矩形”。从叶子结点开始用矩形(rectangle)将空间框起来,结点越往上,框住的空间就越大,以此对空间进行分割。有点不懂?没关系,继续往下看。在这里我还想提一下,R树中的R应该代表的是Rectangle(此处参考wikipedia上关于R树的介绍),而不是大多数国内教材中所说的Region(很多书把R树称为区域树,这是有误的)。我们就拿二维空间来举例。下图是Guttman论文中的一幅图:
我来详细解释一下这张图。先来看图(b)
a. 首先我们假设所有数据都是二维空间下的点,图中仅仅标志了R8区域中的数据,也就是那个shape of data object。别把那一块不规则图形看成一个数据,我们把它看作是多个数据围成的一个区域。为了实现R树结构,我们用一个最小边界矩形恰好框住这个不规则区域,这样,我们就构造出了一个区域:R8。R8的特点很明显,就是正正好好框住所有在此区域中的数据。其他实线包围住的区域,如R9,R10,R12等都是同样的道理。这样一来,我们一共得到了12个最最基本的最小矩形。这些矩形都将被存储在子结点中。
b. 下一步操作就是进行高一层次的处理。我们发现R8,R9,R10三个矩形距离最为靠近,因此就可以用一个更大的矩形R3恰好框住这3个矩形。
c. 同样道理,R15,R16被R6恰好框住,R11,R12被R4恰好框住,等等。所有最基本的最小边界矩形被框入更大的矩形中之后,再次迭代,用更大的框去框住这些矩形。
我想大家都应该理解这个数据结构的特征了。用地图的例子来解释,就是所有的数据都是餐厅所对应的地点,先把相邻的餐厅划分到同一块区域,划分好所有餐厅之后,再把邻近的区域划分到更大的区域,划分完毕后再次进行更高层次的划分,直到划分到只剩下两个最大的区域为止。要查找的时候就方便了。
下面就可以把这些大大小小的矩形存入我们的R树中去了。根结点存放的是两个最大的矩形,这两个最大的矩形框住了所有的剩余的矩形,当然也就框住了所有的数据。下一层的结点存放了次大的矩形,这些矩形缩小了范围。每个叶子结点都是存放的最小的矩形,这些矩形中可能包含有n个数据。
2. R树的性质
一棵R树满足如下的性质:
1. 除非它是根结点之外,所有叶子结点包含有m至M个记录索引(条目)。作为根结点的叶子结点所具有的记录个数可以少于m。通常,m=M/2。
2. 对于所有在叶子中存储的记录(条目),I是最小的可以在空间中完全覆盖这些记录所代表的点的矩形(注意:此处所说的“矩形”是可以扩展到高维空间的)。
3. 每一个非叶子结点拥有m至M个孩子结点,除非它是根结点。
4. 对于在非叶子结点上的每一个条目,i是最小的可以在空间上完全覆盖这些条目所代表的店的矩形(同性质2)。
5. 所有叶子结点都位于同一层,因此R树为平衡树。
3. R树叶子结点的结构
先来探究一下叶子结点的结构。叶子结点所保存的数据形式为:(I, tuple-identifier)。
其中,tuple-identifier表示的是一个存放于数据库中的tuple,也就是一条记录,它是n维的。I是一个n维空间的矩形,并可以恰好框住这个叶子结点中所有记录代表的n维空间中的点。I=(I0,I1,…,In-1)。其结构如下图所示:
下图描述的就是在二维空间中的叶子结点所要存储的信息。
在这张图中,I所代表的就是图中的矩形,其范围是a<=I0<=b,c<=I1<=d。有两个tuple-identifier,在图中即表示为那两个点。这种形式完全可以推广到高维空间。大家简单想想三维空间中的样子就可以了。这样,叶子结点的结构就介绍完了。
4. R树非叶子结点的结构
非叶子结点的结构其实与叶子结点非常类似。想象一下B树就知道了,B树的叶子结点存放的是真实存在的数据,而非叶子结点存放的是这些数据的“边界”,或者说也算是一种索引(有疑问的读者可以回顾一下上述第一节中讲解B树的部分)。
同样道理,R树的非叶子结点存放的数据结构为:(I, child-pointer)。
其中,child-pointer是指向孩子结点的指针,I是覆盖所有孩子结点对应矩形的矩形。这边有点拗口,但我想不是很难懂。给张图:
D,E,F,G为孩子结点所对应的矩形。A为能够覆盖这些矩形的更大的矩形。这个A就是这个非叶子结点所对应的矩形。这时候你应该悟到了吧?无论是叶子结点还是非叶子结点,它们都对应着一个矩形。树形结构上层的结点所对应的矩形能够完全覆盖它的孩子结点所对应的矩形。根结点也唯一对应一个矩形,而这个矩形是可以覆盖所有我们拥有的数据信息在空间中代表的点的。
5. R树的操作
5.1 搜索
R树的搜索操作很简单,跟B树上的搜索十分相似。它返回的结果是所有符合查找信息的记录条目。而输入是什么?就我个人的理解,输入不仅仅是一个范围了,它更可以看成是一个空间中的矩形。也就是说,我们输入的是一个搜索矩形。
先给出伪代码:
|
我们通过下图来理解这个Search操作。
阴影部分所对应的矩形为搜索矩形。它与根结点对应的最大的矩形(未画出)有重叠。这样将Search操作作用在其两个子树上。两个子树对应的矩形分别为R1与R2。搜索R1,发现与R1中的R4矩形有重叠,继续搜索R4。最终在R4所包含的R11与R12两个矩形中查找是否有符合条件的记录。搜索R2的过程同样如此。很显然,该算法进行的是一个迭代操作。
5.2 插入
R树的插入操作也同B树的插入操作类似。当新的数据记录需要被添加入叶子结点时,若叶子结点溢出,那么我们需要对叶子结点进行分裂操作。显然,叶子结点的插入操作会比搜索操作要复杂。插入操作需要一些辅助方法才能够完成。
来看一下伪代码:
|
|
|
同样,我们用图来更加直观的理解这个插入操作。
我们来通过图分析一下插入操作。现在我们需要插入R21这个矩形。开始时我们进行ChooseLeaf操作。在根结点中有两个条目,分别为R1,R2。其实R1已经完全覆盖了R21,而若向R2中添加R21,则会使R2.I增大很多。显然我们选择R1插入。然后进行下一级的操作。相比于R4,向R3中添加R21会更合适,因为R3覆盖R21所需增大的面积相对较小。这样就在R8,R9,R10所在的叶子结点中插入R21。由于叶子结点没有足够空间,则要进行分裂操作。
插入操作如下图所示:
如何将一个矩形集分裂成合适的两部分,是影响R树检索效率的一个重要因素。
1.以面积作为标准:即分裂后两部分的MBR的和最小。但是算法基于穷举,时间复杂度很大(指数级)。
2. 平方耗费算法:(时间复杂度为平方的近似算法)
(1) 首先从要分裂的矩形集中选取在分裂后最不可能在同一类中的两个矩形作为种子,作为两类中的第一个矩形
(2) 将剩余的矩形依次的分配到这两个类中。
该算法不保证分裂后的面积和最小。
5.3 删除
R树的删除操作与B树的删除操作会有所不同,不过同B树一样,会涉及到压缩等操作。相信读者看完以下的伪代码之后会有所体会。R树的删除同样是比较复杂的,需要用到一些辅助函数来完成整个操作。
|
|
|
R树删除记录过程中的CondenseTree操作是不同于B树的。我们知道,B树删除过程中,如果出现结点的记录数少于半满(即下溢)的情况,则直接把这些记录与其他叶子的记录“融合”,也就是说两个相邻结点合并。然而R树却是直接重新插入。
同样,我们用图直观的说明这个操作。
假设结点最大条目数为4,最小条目数为2。在这张图中,我们的目标是删除记录c。首先使用FindLeaf操作找到c所处在的叶子结点的位置——R11。当c从R11删除时,R11就只有一条记录了,少于最小条目数2,出现下溢,此时要调用CondenseTree操作。这样,c被删除,R11剩余的条目——指向记录d的指针——被插入链表Q。然后向更高一层的结点进行此操作。这样R12会被插入链表中。原理是一样的,在这里就不再赘述。
有一点需要解释的是,我们发现这个删除操作向上传递之后,根结点的条目R1也被插入了Q中,这样根结点只剩下了R2。别着急,重新插入操作会有效的解决这个问题。我们插入R3,R12,d至它原来所处的层。这样,我们发现根结点只有一个条目了,此时根据Inert中的操作,我们把这个根结点删除,它的孩子结点,即R5,R6,R7,R3所在的结点被置为根结点。至此,删除操作结束。