The Application of Eigenvectors and Eigenvalues to Differential Equations

微分方程的数学背景

• 二阶常系数齐次线性微分方程： $y^{''}+py^{'}+qy=0$

1. p、q 是常数：这是常系数微分方程；不是常数：变系数微分方程
2. 当 r 为常数的时候，指数函数 $e^{rx}$和它的各阶derivative都只差一个常数因子。所以，我们用此函数取适当的系数，看是否能满足微分方程。
3. 将 $y=e^{rx}$   $y^{'}=re^{rx}$   $y^{''}=r^{2}e^{rx}$   代入方程：
   $(r^2+pr+q)e^{rx}=0$
   $因为e^{rx}\not=0$，所以 $(r^2+pr+q)e^{rx}=0$ ， $(r^2+pr+q)e^{rx}=0$叫做微分方程的特征方程，解出来的 $r_1$和 $r_2$叫做特征根

特征根 $r_1\space \space r_2$	微分方程 $y^{''}+py^{'}+qy=0$的通解
两个不相等的实根 $r_1\space \space r_2$	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
两个相等的实根 $r_1= r_2$	$(C_1+C_2x)e^{r_1x}$
一对共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

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$du/dt=Au$的解

二阶微分方程

矩阵A的指数次幂（ $e^{At}$）

全见 introduction to linear algerbra 312页