首先我们来看一下投影分类。
从上图中我们可以看出来透视投影是平面几何投影的一大类。其下又有一点透视、二点透视和三点透视之分。
我们再来看看透视投影的性质：
性质：
任意一组平行直线，如果平行于投影平面，则经透视投影后所得到的直线或者重合，或者仍保持平行；
如果不平行于投影平面，将不再保持平行，并且必会汇聚于同一点，这个点称为消失点，也称为灭点。
下面我将证明两点：
- 两条平行直线不平行于投影平面，投影后所得直线将不再保持平行，并且必会汇聚于一点
- 一组平行直线不平行于投影平面的时候，投影后所得直线汇聚的是同一点
证明第一点
已知：
- 两条不与投影平面平行的平行线 l1 和 l2。
- 投影中心 O 和 l1 确定的平面和投影平面交于直线 l1’，和 l2 确定的平面和投影平面交于直线 l2’。
证明：l1’ 和 l2’ 相交于一点
使用反证法证明如下：
因为平行线 l1 l2 与投影平面不平行，且 l1 l2 分别与 l1‘ l2’ 位于同一平面上。所以 l1 l2 分别与 l1‘ l2’ 相交。
假设投影后所得的直线不相交，即 l1’ 平行于 l2’。
又因 l1 平行于 l2，l1 l2 分别与 l1’ l2’ 相交，则推出 l1 与 l1’ 确定的平面平行于 l2 与 l2’ 确定的平面。
但实际上两平面相交于经过透视点中心 O 点的一条直线，矛盾。
所以 l1’ 不平行于 l2’，即投影后所得直线相交。
证明第二点
这个三维做图不易，我也不太会画，就脑补一下吧。
已知：
- 三条不与投影平面平行的平行线 l1 、 l2 和 l3。
- 投影中心 O 和 l1 确定的平面（记为 Ol1）和投影平面交于直线 l1’，和 l2 确定的平面和投影平面（记为 Ol2）交于直线 l2’，和 l3 确定的平面和投影平面交于直线 l3’。
证明：l1’ l2’ 和 l3‘ 相交于同一点。
用反证法证明如下：
由第一点可知，l1’ 和 l2’ 相交于一点，我们不妨设为点 P。现在我们要证明的就是 l3’ 和 l1’ l2’ 也相交于 P 点。
由于 l1 l2 和 l3 是三条平行线，也就是有 l1 和 l3 平行。那么由第一点可知，l1’ 和 l3‘ 会相交于一点，我们设此点为点 P’。
由于 平面Ol1 交于直线 l1’。所以可以知道 l1’ 在 平面Ol1 上，而 P点 在 l1’ 上。点 O 和 点 P 均在 平面Ol1 上，因此直线 OP 在 平面Ol1 上。同理 OP 在 平面Ol2 上。因此 OP 为这两个平面的交线。
由于 l1 平行于 l2 ，因此 l1 平行于过 l2 的平面。而平面 Ol1 和 平面 Ol2 相交于 OP，因此 l1 平行于 OP。
同理 l1 平行于 OP’ 。因此我们知道 l1 平行于 OP 和 OP‘，由此可以推出 OP 和 OP’ 重合。即 P‘ 在 OP 上。
ps. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
而我们知道：
- l1’ 和 l3’ 交于 P’ => P’ 在 l1’ 上
- l1’ 和 l2’ 交于 P => P 在 l1’ 上
因此我们可以推出：
- P’ 为 l1’ 和 OP 的交点
- P 为 l1’ 和 OP 的交点
那么可以证得 P 和 P’ 为同一点。
最后，同理可证 l2’ 和 l3’ 也是相交于 P 点。