【学习笔记】与调和级数相关的时间复杂度

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Noip2018day1完挂，非常难受，过来写个博客颓一下，缓解心情

1. 调和级数
调和级数 $H_n=\sum^{n}_{i=1} \frac{n}{i}=O(n\log n)$
这个怎么证……抱歉蒟蒻真不会……
不过调和级数 $\sum{n}_{i=1} \frac{n}{i}$是微积分中 $\int^n_{1} \frac{1}{x} dx$的离散模拟。（这话这么说对吗……抱歉蒟蒻非常菜鸡啥都不会）

然后考虑一个推广的情形: $T(n)=\sum^{n}_{i=1} (\frac{n}{i})^k$

2. $0<k<1$
当 $k<1$时，我们化简一下式子：仍然考虑转化为积分式， $n^k\int^{n}_{1} x^{-k} dx=n^k\frac{1}{1-k}n^{1-k}=\frac{1}{1-k}n=O(n)$
例如，数论中经常碰到某算法时间复杂度为 $\sum^{n}_{i=1} \sqrt{\frac{n}{i}}$, 该复杂度即为 $O(n)$.
但是请注意，当 $k$接近 $1$的时候， $O(n)$的背后将隐藏着巨大的常数……比如 $k=0.99$ , 实验表明当 $n$比较小的时候 $k=0.99$和 $k=1$差别并不大，但是理论上来说当 $n$趋近于 $+inf$时，前者将收敛于大约 $100n$, 后者将发散。

3. $k>1$
当 $k>1$时, $n^k\int_1^n x^{-k} dx=O(n^k)$
因此， $k>1$时 $\frac{n}{k}$的影响几乎可以忽略。不过同理 $k$接近 $1$时也会有大常数。

好了心情恢复一点了，继续等待明天的GG……