机器学习基础：贝叶斯定理及其应用示例

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贝叶斯定理：
${ P(h|D)=\frac{P(D|h)P(h)}{P(D)} \tag{1}}$

全概率公式：
${P(B)=\sum_{k=1}^nP(B|A_i)P(A_i)\tag{2}}$

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示例

已知某种疾病的发病率为0.008，现有一种试剂可以检验患者是否得病，即在患者确实患病的情况下，检验结果为阳性的概率为98%，在患者确实没患病的情况下，检验结果为阴性的概率为97%。现有一名患者的检验结果为阳性，则该患者的患病概率为多大？

假定事件C为得病，事件+为阳性，事件-为阴性，则有：

1. $P(C)=0.008$
2. $P(\overline{C})=1-P(C)=0.992$
3. $P(+|C)=0.98$
4. $P(-|C)=1-P(+|C)=0.02$
5. $P(-|\overline{C})=0.97$
6. $P(+|\overline{C})=1-P(-|\overline{C})=0.03$

其中， $P(C)$为“先验概率”，即没有做试验之前，所估计的发病率。 $P(C|+)$为“后验概率”，即做了试验之后，对发病率的估计。

求检验结果为阳性时，患者的患病概率，就是求后验概率 $P(C|+)$。

使用全概率公式求 $P(+)$，有
$P(+)=P(+|C)P(C)+P(+|\overline{C})P(\overline{C})=0.0376$
根据贝叶斯定理，有
$P(C|+)=\frac{P(+|C)P(C)}{P(+)}=\frac{0.98×0.008}{0.0376}=0.2085$
所以，该患者的患病概率为20.85%

因为存在3%误报率，所以会存在“假阳性”问题，即阳性结果并不足以说明病人得病。

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参考资料：

1. 贝叶斯推断及其互联网应用（一）：定理简介 - 阮一峰的网络日志
2. 全概率公式 - 维基百科，自由的百科全书