《算法设计与分析》第十二周作业

《算法设计与分析》第十二周作业

标签（空格分隔）： 课堂作业

姓名：李**
学号：16340114
题目：Burst Balloons（https://leetcode.com/problems/burst-balloons/）

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题目概要

给定一串数字，每个数字代表一个气球，每个气球都有一个数值。每次扎破一个气球，可以得到该气球左边和右边以及自身数字之积的硬币，若果左/右没有气球，其数值为1。求能拿到的最大硬币数

思路

这个题目可以先从最简单的情况出发，只有一个气球的时候，只能得到该气球数值的硬币数。对于一般情况，即气球不止一个时（下标从i到j）考虑最后一个需要扎破的气球。当这个气球最后被扎破时，其余被扎破的气球都能获得最大的硬币，而扎破最后选定的气球k的收益为 $nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]$，整段气球的收益为: $nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1]\ +\ coins[i\ to\ k-1] + coins[k+1\ to\ j]$
　　用coins[i][j]表示nums[i…j]能获取的最大硬币数。(包含位置i与j)，其值为：
　　 $(1)coins[i][j]\ =\ 0,\ when\ j\ <\ i$
　　 $(2)coins[i][j]\ =\ nums[i-1]\ *\ nums[i]\ *\ nums[i+1],　when　j\ =\ i$
　　 $(3)coins[i][j]\ =\ max(nums[i-1]\ * nums[k]\ * nums[j+1]\ +\ coins[i][k-1]\ coins[k+1][j])$
　　 $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,i<=k<=j,　when　j\ >\ i$
　　特别地，当nums下标越界时，其值为1。对(3)式中的coins[i][k-1]，当 $k-1<i$时，其值为0(k-1可能越界)，coins[k+1][j]同理。
　　最后的答案为coins[0][nums.size()-1]。

具体实现

用二维数组存储coins的状态。在循环时，要先计算长度小的气球串再到长度大的气球串。注意判断nums与coins的边界状态即可。

心得

这个动态规划问题的关键在于一般情况的硬币数该怎么算。想到只有一个气球时的抉择，把这个抉择推广到一般情况，再稍微琢磨一下，便可求得coins的状态表达式。

源码：

#define leftNum(x) (x==0 ? 1 : nums[x-1])
#define rightNum(x) (x==length-1 ? 1 : nums[x+1])
#define max(a, b) (a>b ? a : b)

class Solution 
{
public:
    int maxCoins(vector<int>& nums) 
    {
        int length = nums.size();
        if (length == 0)
            return 0;

        int** coins = new int* [length];
        for (int i = 0; i < length; ++i)
            coins[i] = new int [length];

        for (int i = 0; i < length; ++i)
            for (int j = 0; j < length; ++j)
                coins[i][j] = 0;

        for (int segment = 0; segment < length; ++segment)
        {
            for (int i = 0; i+segment < length; ++i)
            {
                int j = i + segment;
                for (int k = i; k <= j; ++k)
                {
                    int leftCoins = (k==i ? 0 : coins[i][k-1]);
                    int rightCoins = (k==j ? 0 : coins[k+1][j]);
                    int lastBurstKCoins = leftNum(i) * nums[k] * rightNum(j) + leftCoins + rightCoins;
                    coins[i][j] = max(coins[i][j], lastBurstKCoins);
                }
            }
        }

        int answer = coins[0][length-1];
        for (int i = 0; i < length; ++i)
            delete coins[i];
        delete coins;

        return answer;
    }
};