题目大意：裸的八数码问题，让你输出空格的一条合法移动路径
首先利用康托展开对排列编号，可以预处理出排列，就不必逆展开了
然后利用A*算法求解
A*算法是一种启发式搜索，具体实现要用到优先队列/堆，不同于$dijkstra$，它的堆不是按照 初始状态向当前状态的花费$dis_{i}$进行贪心转移，而是额外处理出一个估值函数，处理出当前状态到目标状态花费的估计值$h_{i}$，然后按照$dis_{i}+h_{i}$排序，优先取出总和最小的。并且每个状态只会被搜索一次。如果搜索到了目标状态，立即跳出
这个过程，相当于我们取出一个全局较优解，虽然不一定是最优的，但大量减少了无用的搜索时间
而这道题的估值函数，可以粗略的计算为，每个数 当前状态的位置 到 目标状态的位置 的曼哈顿距离$(|xj-xi|+|yj-yi|)$ 之和
经过了A*优化的搜索，虽然不一定能搜出最短的路径，但极大减少了搜索的时间，因为搜的路径越短，我们搜索的总时间也越短，几乎是指数级别的优化。
然而A*也有弊端，如果存在无解的情况，A*就会退化成BFS，对所有状态都搜一次，而且多了一个常数$log$，在hdu上会T掉
所以我上网查了用了八数码判无解的方法，即对于去掉空格以后的8个数的排列，如果逆序对数量总和是奇数，则无解
证明大概是这样的，对于一个序列，任意交换两个相邻的数，逆序对数量的奇偶性不变，而八数码的表格扔到序列上，也满足这个性质
搞了大半个下午终于过了
1 #include <queue> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 #define NN 370010 6 #define MM 100 7 #define ll long long 8 #define uint unsigned int 9 #define ull unsigned long long 10 #define inf 0x3f3f3f3f 11 using namespace std; 12 13 struct node{ 14 int id,d; 15 friend bool operator<(const node &s1,const node &s2) 16 {return s1.d>s2.d;} 17 node(int id,int d):id(id),d(d){} 18 node(){} 19 }; 20 int xx[4]={-1,0,1,0},yy[4]={0,1,0,-1}; 21 int f[NN][11],vis[NN],p[5][5],cnt; 22 int h[NN],g[NN],fa[NN],d[NN]; 23 int S[11],use[11],now[11],tmp[11],mu[11]; 24 inline int mabs(int x){return x>=0?x:-x;} 25 char ans[MM],c[4]={'u','r','d','l'}; 26 27 void dfs_permu(int dep) 28 { 29 if(dep==10){ 30 cnt++; 31 for(int i=1;i<=9;i++) 32 f[cnt][i]=now[i], 33 h[cnt]+=(mabs((i-1)/3-(now[i]-1)/3)+mabs((i-1)%3-(now[i]-1)%3)); 34 return; 35 } 36 for(int i=1;i<=9;i++) 37 if(!use[i]){ 38 use[i]=1,now[dep]=i; 39 dfs_permu(dep+1); 40 use[i]=0,now[dep]=0; 41 } 42 } 43 bool check(int x,int y) 44 {if(x<1||y<1||x>3||y>3)return 0;return 1;} 45 void Pre() 46 { 47 dfs_permu(1); 48 mu[1]=1; 49 for(int i=2;i<=9;i++) 50 mu[i]=mu[i-1]*i; 51 } 52 int s[100]; 53 void update(int x,int w){for(int i=x;i<=9;i+=(i&(-i)))s[i]+=w;} 54 int query(int x){int ans=0;for(int i=x;i>0;i-=(i&(-i)))ans+=s[i];return ans;} 55 int canter(int *tmp) 56 { 57 int ans=0; 58 for(int i=1;i<=9;i++) 59 update(i,1); 60 for(int i=1;i<=9;i++){ 61 ans+=query(tmp[i]-1)*mu[9-i]; 62 update(tmp[i],-1); 63 } 64 return ans+1; 65 } 66 int clr[NN],nn; 67 void init() 68 { 69 memset(ans,0,sizeof(ans)); 70 for(int i=1;i<=nn;i++){ 71 vis[clr[i]]=fa[clr[i]]=d[clr[i]]=0; 72 g[clr[i]]=inf; 73 }nn=0; 74 } 75 76 int main() 77 { 78 Pre(); 79 char str[10]; 80 priority_queue<node>q; 81 nn=cnt; 82 for(int i=1;i<=nn;i++) clr[i]=i; 83 while(scanf("%s",str)!=EOF) 84 { 85 86 if('1'<=str[0]&&str[0]<='8') 87 S[1]=str[0]-'0'; 88 else S[1]=9; 89 for(int i=2;i<=9;i++) 90 { 91 scanf("%s",str); 92 if('1'<=str[0]&&str[0]<='8') 93 S[i]=str[0]-'0'; 94 else S[i]=9; 95 } 96 int invcnt=0; 97 for(int i=1;i<=9;i++) 98 for(int j=1;j<i;j++){ 99 if(S[i]==9||S[j]==9) continue; 100 if(S[j]>S[i]) invcnt++; 101 } 102 if(invcnt&1){ 103 printf("unsolvable\n"); 104 continue;} 105 init(); 106 int s,t,st,sx,sy,x,y; 107 st=canter(S); 108 if(st==1){ 109 puts(""); 110 continue; 111 } 112 q.push(node(st,h[st])); 113 g[st]=0; 114 while(!q.empty()) 115 { 116 node k=q.top();q.pop(); 117 s=k.id;clr[++nn]=s; 118 if(s==1) break; 119 if(vis[s]) continue; vis[s]=1; 120 for(int i=1;i<=9;i++) 121 if(f[s][i]==9) 122 sx=(i-1)/3+1,sy=(i-1)%3+1; 123 for(int i=1;i<=9;i++) 124 tmp[i]=f[s][i]; 125 for(int k=0;k<4;k++) 126 { 127 x=sx+xx[k],y=sy+yy[k]; 128 if(!check(x,y)) continue; 129 swap(tmp[(x-1)*3+y],tmp[(sx-1)*3+sy]); 130 int t=canter(tmp); 131 if(g[t]>g[s]+1&&!vis[t]){ 132 g[t]=g[s]+1,fa[t]=s,d[t]=k; 133 q.push(node(t,g[t]+h[t])); 134 } 135 swap(tmp[(x-1)*3+y],tmp[(sx-1)*3+sy]); 136 } 137 } 138 while(!q.empty()){ 139 node k=q.top();q.pop(); 140 s=k.id;clr[++nn]=s; 141 } 142 if(!fa[1]){ 143 printf("unsolvable\n"); 144 continue; 145 } 146 t=1;int num=0; 147 while(t!=st){ 148 ans[++num]=c[d[t]]; 149 t=fa[t]; 150 } 151 for(int i=num;i>=1;i--) 152 printf("%c",ans[i]); 153 puts(""); 154 155 } 156 157 return 0; 158 }