[USACO12Jan][luogu3041] Video Game Combos [AC自动机+dp]

题面

传送门

思路

首先，有一个非常显然的思路就是dp：

设$dp[i][j]$表示前i个字符，最后一个为j

然后发现这个东西有后效性

改！设$dp[i][j]$代表前i个字符，最后15个的状态为j（压缩一下），转移的是候枚举增加那个字符，然后看从谁可以推过来

然后就TLE了，完全无压力

怎么优化这个算法？

显然，枚举完增加哪个字符以后，可以用AC自动机来实现多模匹配

然后发现：我们把j的定义变成AC自动机上面的点j，这样一个点就代表一种状态，状态之间互相不重复，而且也没有后效性

这样的定义方法还有一个好处：状态少，从$3^{15}$个变成了$300$个

于是我们得到最终做法：

最终算法

对于输入的模板串建立AC自动机

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令$dp[i][j]$表示前i个字符，最后一个字符跑到AC自动机的第j位上的最大答案

于是我们只要对于每个$dp[i][j]$枚举下一个是A,B,C,转移到下一个节点j'，然后跳一遍fail指针

对于匹配到的一个长度为k的模板串，$dp[i+1][j']=max\left(dp[i+1][j'],dp[i-k][j]\right)$

最后答案就是$dp[K][i]$的最大值

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
struct node{
    int num,fail,son[3];
    node(){num=fail=0;memset(son,0,sizeof(son));}
}a[510];int cnt;
void add(char s[]){//插入字符串到trie
    int len=strlen(s),i,cur=0;
    for(i=0;i<len;i++){
        if(!a[cur].son[s[i]-'A']) a[cur].son[s[i]-'A']=++cnt;
        cur=a[cur].son[s[i]-'A'];
    }
    a[cur].num++;
}
void getfail(){//bfs求fail指针
    int u,v,q[510],head=0,tail=0,i;
    for(i=0;i<3;i++){
        if(!a[0].son[i]) continue;
        a[0].fail=0;q[tail++]=a[0].son[i];
    }
    while(head<tail){
        u=q[head++];
        for(i=0;i<3;i++){
            v=a[u].son[i];
            if(v) a[v].fail=a[a[u].fail].son[i],q[tail++]=v;
            else a[u].son[i]=a[a[u].fail].son[i];
        }
    }
}
int m,n,dp[1010][510];bool vis[1010][510];
int proc(int cur,int val){//跳fail指针求值
    while(cur) val+=a[cur].num,cur=a[cur].fail;
    return val;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&m,&n);int i,j,k,tmp;char s[20];
    for(i=1;i<=m;i++) scanf("%s",s),add(s);
    getfail();vis[0][0]=1;
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=0;j<=cnt;j++){
            if(!vis[i][j]) continue;
            for(k=0;k<3;k++){
                tmp=a[j].son[k];
                dp[i+1][tmp]=max(dp[i+1][tmp],proc(tmp,dp[i][j]));
                vis[i+1][tmp]=1;
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(i=0;i<=cnt;i++) ans=max(ans,dp[n][i]);
    printf("%d\n",ans);
}