BZOJ 2004 [Hnoi2010]Bus 公交线路

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题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2004

题解

状压dp，记 $f[i][S]$表示 $[1,i-p]$的车都被安排好了，而 $[i-p+1,i]$的车中， $S$中有 $1$的位置都安排有车停，并且恰好只有 $k$个位置安排了（就是 $k$辆车安排到的最后一个站，按照定义，显然 $k$辆车安排的终点站必定在 $[i-p+1,i]$内），其他的都没有安排。为了防止重复统计，钦定 $S$的最高位（ $i-p+1$）必定为 $1$。

转移的话就是，如果 $f[i][S]$与 $f[i-1][T]$， $T$中的所有 $1$与 $S$中的所有 $1$能对应上，那么 $f[i][S]$就可以从 $f[i-1][T]$转移过来。

由于状态总数为 $\binom{n}{n/2}$（最大是126），因此可以用矩阵乘法加速转移。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
 
int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}
 
const int maxm=126;
const int mod=30031;
 
struct matrix
{
  int n,m,a[maxm+2][maxm+2];
 
  matrix operator *(const matrix &other) const
  {
    matrix res;
    res.n=n;
    res.m=other.m;
    memset(res.a,0,sizeof res.a);
    for(int i=1; i<=n; ++i)
      {
        for(int j=1; j<=other.m; ++j)
          {
            for(int k=1; k<=m; ++k)
              {
                res.a[i][j]=(res.a[i][j]+1ll*a[i][k]*other.a[k][j])%mod;
              }
          }
      }
    return res;
  }
};
 
int stand[maxm+2],n,p,k,tot;
matrix start,trans,ans;
 
matrix quickpow(matrix res,matrix a,int b)
{
  while(b)
    {
      if(b&1)
        {
          res=res*a;
        }
      a=a*a;
      b>>=1;
    }
  return res;
}
 
int main()
{
  n=read();
  p=read();
  k=read();
  for(int i=1<<(k-1); i<1<<k; ++i)
    {
      int cnt=0;
      for(int j=0; j<k; ++j)
        {
          if(i&(1<<j))
            {
              ++cnt;
            }
        }
      if(cnt==p)
        {
          stand[++tot]=i;
        }
    }
  start.n=1;
  start.m=trans.n=trans.m=tot;
  for(int i=1; i<=tot; ++i)
    {
      for(int j=1; j<=tot; ++j)
        {
          int r=(stand[i]<<1)&((1<<k)-1),q=stand[j];
          for(int s=0; s<k; ++s)
            {
              if(((r&(1<<s))==0)&&((r|(1<<s))==q))
                {
                  trans.a[j][i]=1;
                }
            }
        }
    }
  start.a[1][tot]=1;
  ans=quickpow(start,trans,n-p);
  printf("%d\n",ans.a[1][tot]);
  return 0;
}