这个题还是挺有意思的...
一个小结论是:在一个$n$点$m$边的图中,如果度数最小的点度数为$d$,那么$d^2=O(m)$,因为$d\leq\frac{2m}n$,所以$d^2\leq dn\leq2m$
把链按权值从小到大排序,对一条链$(u,v)$,设在它上面的限制数量为$k$,如果$k\lt\text{dis}(u,v)$,那么我们可以让这条链上的所有点连通,直接用并查集把链上的点暴力合并即可
否则我们想要在$O(k)$的时间内计算答案,这样这部分的总复杂度就是$O(p)$的
先把限制建成图,找到度数最小的那个点$x$,不与$x$相邻的那些点(设此集合再加上$x$为$X$)都可以和它合并,现在考虑那些与$x$相邻的点(设此集合为$Y$),只有两种可能的连边:$X\rightarrow Y$,$Y\rightarrow Y$
对于$X\rightarrow Y$,我们枚举$y\in Y$,如果$d_y\lt\left\lvert X\right\rvert$,那么它一定可以和$X$中某点连边,否则$O(d_y)$打标记再遍历所有$X$中节点即可,这部分复杂度是$O\left(\sum d_y\right)=O(k)$
对于$Y\rightarrow Y$,直接$O\left(d_x^2\right)$枚举即可,由开始的那个结论得这部分的复杂度也是$O(k)$
最后一个小问题是:要维护一个支持链并和两点并的并查集,这里维护两个并查集:链并的和实际集合的,在链并操作的同时更新实际集合的并查集即可
总复杂度$O(n+m\log m+q\alpha(n))$,跑得非常快
#include<stdio.h> #include<vector> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const int inf=2147483647; int fa[300010],dep[300010],d[300010],f[300010],ot[300010],N,M; bool vis[300010]; ll ans; struct ch{ int x,y,w,i; }p[300010]; bool operator<(ch a,ch b){return a.w<b.w;} struct edge{ int x,y; edge(int x=0,int y=0):x(x),y(y){} }; vector<edge>e[300010]; vector<edge>::iterator it; vector<int>g[300010]; vector<int>::iterator i1,i2; struct dsu{ int fa[300010]; int get(int x){return x==fa[x]?x:(fa[x]=get(fa[x]));} }c,b; void merge(int x,int y,int w){ x=b.get(x); y=b.get(y); if(x!=y){ ans+=w; b.fa[x]=y; } } bool check(int x,int y,int k){ while(k--){ if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); x=fa[x]; if(x==y)return 0; } return 1; } void get(int x,int y){ N=0; while(x!=y){ if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); f[++N]=x; x=fa[x]; } f[++N]=x; } int main(){ int n,m,q,i,j,x,y,mn; scanf("%d%d%d",&n,&m,&q); for(i=2;i<=n;i++)scanf("%d",fa+i); for(i=1;i<=n;i++)dep[i]=dep[fa[i]]+1; for(i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d%d",&p[i].x,&p[i].y,&p[i].w); p[i].i=i; } while(q--){ scanf("%d%d%d",&i,&x,&y); e[i].push_back(edge(x,y)); } sort(p+1,p+m+1); for(i=1;i<=n;i++)c.fa[i]=b.fa[i]=i; for(i=1;i<=m;i++){ #define merge(x,y) merge(x,y,p[i].w) vector<edge>&v=e[p[i].i]; if(check(p[i].x,p[i].y,v.size())){ x=c.get(p[i].x); y=c.get(p[i].y); while(x!=y){ if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); merge(x,fa[x]); c.fa[x]=fa[x]; x=c.get(x); } }else{ for(it=v.begin();it!=v.end();it++){ x=it->x; y=it->y; d[x]++; d[y]++; g[x].push_back(y); g[y].push_back(x); } get(p[i].x,p[i].y); x=0; mn=inf; for(j=1;j<=N;j++){ if(d[f[j]]<mn){ mn=d[f[j]]; x=f[j]; } } for(i1=g[x].begin();i1!=g[x].end();i1++)vis[*i1]=1; M=0; for(j=1;j<=N;j++){ if(!vis[f[j]])ot[++M]=f[j]; } for(j=1;j<=M;j++)merge(x,ot[j]); for(i1=g[x].begin();i1!=g[x].end();i1++)vis[*i1]=0; for(i1=g[x].begin();i1!=g[x].end();i1++){ y=*i1; for(i2=g[y].begin();i2!=g[y].end();i2++)vis[*i2]=1; for(i2=g[x].begin();i2!=g[x].end();i2++){ if(!vis[*i2])merge(y,*i2); } for(i2=g[y].begin();i2!=g[y].end();i2++)vis[*i2]=0; if((int)g[y].size()<M) merge(x,y); else{ for(i2=g[y].begin();i2!=g[y].end();i2++)vis[*i2]=1; for(j=1;j<=M;j++){ if(!vis[ot[j]])merge(ot[j],y); } for(i2=g[y].begin();i2!=g[y].end();i2++)vis[*i2]=0; } } for(it=v.begin();it!=v.end();it++){ x=it->x; y=it->y; d[x]=d[y]=0; g[x].clear(); g[y].clear(); } } } printf("%lld",ans); }