题目大意
对于两个数列\(a,b\)，求有多少种排列\(p,q\)满足\(a_{p_i}>b_{q_i}\)的个数恰好为\(k\)
题目分析
由“恰好”引发思考。
考虑容斥。
设询问函数\(q(i)\)表示钦定\(i\)个\(a>b\)的关系的方案数。
再设贡献函数\(g(i)\)表示有i个\(a>b\)关系的方案对答案的贡献。
再设容斥系数\(f(i)\)，使得最终答案为\(\sum_{i=k}^nq(i)* f(i)\)
首先考虑如何快速求出询问函数\(q(i)\)。首先将两个数列分别排序。设\(dp[i][j]\)表示\(a\)数列前\(i\)个数的匹配关系处理后，钦定了\(j\)对关系的方案数。设\(pos\)表示\(b_{pos}<a_i\)的\(pos\)的最大值。显然有转移方程：
\(dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]*(pos-j+1)\)
那么\(q(i)=dp[n][i]* (n-i)!\)就能快速求出了。
再考虑求出容斥系数。
根据套路，我们可以\(O(n^2)\)递推这玩意儿。
根据容斥原理，\(g(x)=\sum_{i=k}^x\dbinom{x}{i}f(i)\)。
当\(x=k\)时，\(g(x)=1\)，那么显然\(f(x)=1\)
当\(x>k\)时，\(g(x)=0\)，则有：
\(\sum_{i=k}^x\dbinom{x}{i}f(i)=0\)
\(\sum_{i=k}^{x-1}\dbinom{x}{i}f(i)+f(x)=0\)
\(f(x)=-\sum_{i=k}^{x-1}\dbinom{x}{i}f(i)\)
这样我们就能递推求出容斥系数了。时间复杂度\(O(n^2)\)。