原文主要转载于：https://www.cnblogs.com/charlotte77/p/5629865.html
本文主要分两个部分描述：
第一部分为原理知识主要是涉及到数学微积分和理论推导
第二部分为代码实践（Python实现）两种实现方式
1、第一种代码（根据理论公式推导一步步实现代码）
2、第二种代码（根据转换为向量实现简单的代码）
一、理论说明（需要有简单的神经网络原理知识，建议看吴恩达deep learning学习视频）：
最近在看深度学习的东西，一开始看的吴恩达的UFLDL教程，有中文版就直接看了，后来发现有些地方总是不是很明确，又去看英文版，然后又找了些资料看，才发现，中文版的译者在翻译的时候会对省略的公式推导过程进行补充，但是补充的又是错的，难怪觉得有问题。反向传播法其实是神经网络的基础了，但是很多人在学的时候总是会遇到一些问题，或者看到大篇的公式觉得好像很难就退缩了，其实不难，就是一个链式求导法则反复用。如果不想看公式，可以直接把数值带进去，实际的计算一下，体会一下这个过程之后再来推导公式，这样就会觉得很容易了。
说到神经网络，大家看到这个图应该不陌生：
这是典型的三层神经网络的基本构成，Layer L1是输入层，Layer L2是隐含层，Layer L3是隐含层，我们现在手里有一堆数据{x1,x2,x3,...,xn},输出也是一堆数据{y1,y2,y3,...,yn},现在要他们在隐含层做某种变换，让你把数据灌进去后得到你期望的输出。如果你希望你的输出和原始输入一样，那么就是最常见的自编码模型（Auto-Encoder）。可能有人会问，为什么要输入输出都一样呢？有什么用啊？其实应用挺广的，在图像识别，文本分类等等都会用到，我会专门再写一篇Auto-Encoder的文章来说明，包括一些变种之类的。如果你的输出和原始输入不一样，那么就是很常见的人工神经网络了，相当于让原始数据通过一个映射来得到我们想要的输出数据，也就是我们今天要讲的话题。
本文直接举一个例子，带入数值演示反向传播法的过程，公式的推导等到下次写Auto-Encoder的时候再写，其实也很简单，感兴趣的同学可以自己推导下试试：）（注：本文假设你已经懂得基本的神经网络构成，如果完全不懂，可以参考Poll写的笔记：[Mechine Learning & Algorithm] 神经网络基础）
假设，你有这样一个网络层：
第一层是输入层，包含两个神经元i1，i2，和截距项b1；第二层是隐含层，包含两个神经元h1,h2和截距项b2，第三层是输出o1,o2，每条线上标的wi是层与层之间连接的权重，激活函数我们默认为sigmoid函数。
现在对他们赋上初值，如下图：
其中，输入数据 i1=0.05，i2=0.10;
输出数据 o1=0.01,o2=0.99;
初始权重 w1=0.15,w2=0.20,w3=0.25,w4=0.30;
w5=0.40,w6=0.45,w7=0.50,w8=0.55
目标：给出输入数据i1,i2(0.05和0.10)，使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。
Step 1 前向传播
1.输入层---->隐含层：
计算神经元h1的输入加权和：
神经元h1的输出o1:(此处用到激活函数为sigmoid函数)：
同理，可计算出神经元h2的输出o2：
2.隐含层---->输出层：
计算输出层神经元o1和o2的值：
这样前向传播的过程就结束了，我们得到输出值为[0.75136079 , 0.772928465]，与实际值[0.01 , 0.99]相差还很远，现在我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。
Step 2 反向传播
1.计算总误差
总误差：(square error)
但是有两个输出，所以分别计算o1和o2的误差，总误差为两者之和：
2.隐含层---->输出层的权值更新：
以权重参数w5为例，如果我们想知道w5对整体误差产生了多少影响，可以用整体误差对w5求偏导求出：（链式法则）
下面的图可以更直观的看清楚误差是怎样反向传播的：
现在我们来分别计算每个式子的值：
计算
：
计算
：
（这一步实际上就是对sigmoid函数求导，比较简单，可以自己推导一下）
计算
：
最后三者相乘：
这样我们就计算出整体误差E(total)对w5的偏导值。
回过头来再看看上面的公式，我们发现：
为了表达方便，用
来表示输出层的误差：
因此，整体误差E(total)对w5的偏导公式可以写成：
如果输出层误差计为负的话，也可以写成：
最后我们来更新w5的值：
（其中，
是学习速率，这里我们取0.5）
同理，可更新w6,w7,w8:
3.隐含层---->隐含层的权值更新：
方法其实与上面说的差不多，但是有个地方需要变一下，在上文计算总误差对w5的偏导时，是从out(o1)---->net(o1)---->w5,但是在隐含层之间的权值更新时，是out(h1)---->net(h1)---->w1,而out(h1)会接受E(o1)和E(o2)两个地方传来的误差，所以这个地方两个都要计算。
计算
：
先计算
：
同理，计算出：
两者相加得到总值：
再计算
：
再计算
：
最后，三者相乘：
为了简化公式，用sigma(h1)表示隐含层单元h1的误差：
最后，更新w1的权值：
同理，额可更新w2,w3,w4的权值：
这样误差反向传播法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代，在这个例子中第一次迭代之后，总误差E(total)由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]),证明效果还是不错的。
二、代码实践（Python实现）两种实现方式
1、第一种代码（根据理论公式推导一步步实现代码）
import numpy as np
# "pd"偏导
'''
激活函数
'''
def sigmoid(x):
return 1/(1/+np.exp(-x))
'''
计算激活函数的偏微分
'''
def sigmoidDerivationx(y):
return y*(1-y)
if __name__ == "__main__":
#初始化
bias = [0.35, 0.60]
weight = [0.15,0.2,0.25,0.3,0.4,0.45,0.5,0.55]
output_layer_weights = [0.4,0.45,0.5,0.55]
#初始值
i1 = 0.05
i2 = 0.10
#目标值
target1 = 0.01
target2 = 0.99
alpha = 0.5 #学习率
numIter = 10000 #迭代次数
for i in range(numIter):
#正向传播
neth1 = i1*weight[1-1] + i2*weight[2-1] + bias[0]
neth2 = i1*weight[3-1] + i2*weight[4-1] + bias[0]
outh1 = sigmoid(neth1)
outh2 = sigmoid(neth2)
neto1 = outh1*weight[5-1] + outh2*weight[6-1] + bias[1]
neto2 = outh2*weight[7-1] + outh2*weight[8-1] + bias[1]
outo1 = sigmoid(neto1)
outo2 = sigmoid(neto2)
print(str(i)+ ",target1 :" + str(target1-outo1)+",target2 : "+ str(target2-outo2))
if i == numIter-1:
print("lastst result ："+str(outo1)+" "+ str(outo2))
#反向传播
#计算w5-w8（输出层权重）的误差
pdEOuto1 = - (target1-outo1) #对o1输出的微积分
pdOuto1Neto1 = sigmoidDerivationx(outo1)#对o1激活函数的积分
pdNeto1W5 = outh1 #对得到neto1的函数中变量w5的微积分
pdEW5 = pdEOuto1 * pdOuto1Neto1 * pdNeto1W5 #用整体的误差对w5求偏导
pdNeto1W6 = outh2
pdEW6 = pdEOuto1 * pdOuto1Neto1 * pdNeto1W6 #用整体的误差对w6求偏导
'''
同理用同样的方法对w7和w8更新
'''
pdEOuto2 = - (target2 - outo2)
pdOuto2Neto2 = sigmoidDerivationx(outo2)
pdNeto1W7 = outh1
pdEW7 = pdEOuto2 * pdOuto2Neto2 * pdNeto1W7
pdNeto1W8 = outh2
pdEW8 = pdEOuto2 * pdOuto2Neto2 * pdNeto1W8
#计算w1-w4(输出层权重)的误差
pdEouto1 = -(target1 - outo1) #之前算过
pdEouto2 = -(target2 - outo2) #之前算过
pdOuto1Neto1 = sigmoidDerivationx(outo1) #之前算过
pdOuto2Neto2 = sigmoidDerivationx(outo2) #之前算过
'''
由h1输出out1到o1的neto1 相当于 y=w*x + b
y为Neto1 和x为Outh1 然后对Outh1微积分得到的值为w
'''
pdNeto1Outh1 = weight[5-1] #对Outh1到Neto1函数中输入值的
pdNeto2Outh2 = weight[7-1]
'''
求出h1输出的误差占总的误差的比重
'''
pdEOuth1 = pdEOuto1 * pdOuto1Neto1 * pdNeto1Outh1 + pdEOuto2 * pdOuto2Neto2 * pdNeto1Outh1
pdOuth1Neth1 = sigmoidDerivationx(outh1) #对激活函数微积分
pdNeth1W1 = i1
pdNeth1W2 = i2
'''
参考公式
'''
pdEW1 = pdEOuth1 * pdOuth1Neth1 * pdNeth1W1
pdEW2 = pdEOuth1 * pdOuth1Neth1 * pdNeth1W2
pdNeto1Outh2 = weight[6-1]
pdNeto2Outh2 = weight[8-1]
pdOuth2Neth2 = sigmoidDerivationx(outh2)
'''
由输入的公式微积分y = w*x + b可知
'''
pdNeth2W3 = i1
pdNeth2W4 = i2
pdEOuth2 = pdEOuto1 * pdOuto1Neto1 * pdNeto1Outh2 + pdEOuto2 * pdOuto2Neto2 * pdNeto2Outh2
pdEW3 = pdEOuth2 * pdOuth2Neth2 * pdNeth2W3
pdEW4 = pdEOuth2 * pdOuth2Neth2 * pdNeth2W4
#权重更新
weight[1-1] = weight[1-1] - alpha*pdEW1
weight[2-1] = weight[2-1] - alpha*pdEW2
weight[3-1] = weight[3-1] - alpha*pdEW3
weight[4-1] = weight[4-1] - alpha*pdEW4
weight[5-1] = weight[5-1] - alpha*pdEW5
weight[6-1] = weight[6-1] - alpha*pdEW6
weight[7-1] = weight[7-1] - alpha*pdEW7
weight[8-1] = weight[8-1] - alpha*pdEW8
2、第二种代码（根据转换为向量实现简单的代码）
import numpy as np
#设置激活函数
def sigmoid(x):
return 1/(1+np.exp(-x))
#计算激活函数的偏微分
def sigmoidDerivationx(y):
return y * (1-y)
if __name__ == "__main__":
alpha = 0.05 #设置学习率
numIter = 100000 #迭代次数
w1 = [[0.15,0.20],[0.25,0.30]] #输出层的权重
w2 = [[0.40,0.45],[0.50,0.55]] #权重矩阵的维度
b1 = 0.35
b2 = 0.60
x = [0.05,0.10] #初始化输入
y = [0.01,0.99] #初始化对应的输出label
z1 = np.dot(w1,x) + b1
a1 = sigmoid(z1) #激活函数，第一层激励值
z2 = np.dot(w2,x) + b2
a2 = sigmoid(z2) #第二层激励值
for n in range(numIter):
'''
反向传播，使用代价函数c = 1/(2n)*sum[y-a2]^2
最后一层的梯度delta
'''
delta2 = np.multiply(-(y - a2),np.multiply(a2,1-a2))
'''
delta2这两项乘积由来，第一个参数是代价函数对a2求的偏导(实际上得到的就是真实输出值与预测值之间的误差而已)
第二个参数是激励值得导数，二者相乘最后得梯度的变化值
非最后一层的梯度delta（即隐含层），算法与最后一层不一样，因为其没有输出预测值，我们用下一层误差的加权和来代替真实值与预测值的差
'''
delta1 = np.multiply(np.dot(np.array(w2).T, delta2), np.multiply(a1, 1 - a1))
# 关键是要明白计算的过程与理论基础
# 计算完权重的变化后（即delta），更新权重，delta也可以称为梯度的变化
for i in range(len(w2)):
w2[i] = w2[i] -alpha*delta2[i]*a1
for i in range(len(w1)):
w1[i] = w1[i] -alpha*delta1[i]*np.array(x)
#继续向前传播，算出误差值
s
z1 = np.dot(w1,x) + b1 #用新的权重值在计算一遍激励值
a1 = sigmoid(z1)
z2 = np.dot(w2,a1) + b2
a2 = sigmoid(z2)
print(str(n) + "result: "+str(a2[0])+",result: "+str(a2[1]))
# 输出迭代后的预测值
print(str(n) + "error1: "+str(y[0] - a2[0])+ ",error2: "+str(y[1] - a2[1]))
# 输出误差，可以通过改变迭代次数来查看效果
实验结果：
目录
一、理论说明（需要有简单的神经网络原理知识，建议看吴恩达deep learning学习视频）：