最近看了BP神经网络(Back Propagation Neural Networks)，对于其中误差反向传播公式的推导比较困惑，在参考周志华老师的《机器学习》和网上一些博客后，做出一个简单的还原。

1. BP网络模型及变量说明

1.1 模型简图

1.2 变量说明：

m_l：第l层神经元个数
x⁽¹⁾_p: 输入层第p个神经元，p=1…m1；
y_k : 输出层第k的神经元的输出，k=1…ml+1；
t_k：输出层第k的神经元的目标值，k=1…ml+1；
z^(l)_j：第l层的第j的神经元的输入；
a^(l)_j：第l层第j个神经元的输出；
a^(l)₀：第l层的偏置项；
w^(l)_ji：第l−1层第i个神经元与第l层第j个神经元的连接权值；

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h(.)：激活函数，这里假设每一层各个神经元的激励函数相同（实际中可能不同）；
E_p：网络在第p个样本输入下的偏差，n=1…N；
N：样本总数

2. 误差反向传播相关推导

2.1 正向传播（forward-propagation）

正向传播的思想比较直观，最主要的是对于激活函数的理解。对于网络中第l层的第j个神经元，它会接受来自第l-1层所有神经元的信号，即：

z (l) j = \sum i = 1 m l - 1 w j i a (l - 1) i + a (l - 1) 0

$z_j^{(l)}=\sum_{i=1}^{m_{l-1}} w_{ji}a_i^{(l-1)}+a_0^{(l-1)}$ 如果令

wj0=1 $w_{j0}=1$ ，可以将公式简写为

z (l) j = \sum i = 0 m l - 1 w j i a (l - 1) i

$z_j^{(l)}=\sum_{i=0}^{m_{l-1}} w_{ji}a_i^{(l-1)}$
则经过该神经元后的输出值为：

a (l) j = h (z (l) j)

$a_j^{(l)}=h(z_j^{(l)})$
对于多分类问题，网络输出层第k个神经元输出可表示为：

y k = a (l + 1) k = h (z (l + 1) j) = h (\sum j = 0 m l w k j a (l) j)

$y_k=a_k^{(l+1)}=h(z_j^{(l+1)})=h(\sum_{j=0}^{m_l} w_{kj}a_j^{(l)})$ 这里说明一下，BP神经网络中激活函数通常会取sigmoid函数或tanh函数，不清楚的可以百度一下这两个函数，这里不再赘述。

其中，sigmod函数的公式为

f (x) = 1 1 + e - x

$f(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ 这个函数的导数有一个性质(后面会用到)：

f' (x) = f (x) (1 - f (x))

$f'(x) = f(x)(1-f(x))$

2.2 代价函数（cost function）

由2.1节公式可以得到BP网络在一个样本下的输出值，我们定义平方和误差函数（sum-of-square error function）如下：

E p = \sum k = 1 m l + 1 1 2 (y k - t k) 2

$E_p=\sum_{k=1}^{m_{l+1}} \dfrac{1}{2}(y_k-t_k)^2$ 所有样本输入下，网络的总误差为：

E N = \sum p = 1 N E p

$E_N=\sum_{p=1}^{N} E_p$

2.3 反向传播（back-propagation）

这是BP神经网络最核心的部分，误差从输出层逐层反向传播，各层权值通过梯度下降法（gradient descent algorithm）进行更新，即：

w : = w - η ▽ E p (w)

$w:=w-\eta\bigtriangledown{E_p}(w)$ 上式中，

η $\eta$ 是每次更新的步长，

▽Ep(w) $\bigtriangledown{E_p}(w)$ 是第p个样本输入下的输出偏差对某一层权值的偏导数，表示每输入一个样本更新一次参数。

下面我们以 $w_{ji}^{(l)}$ 为例推导梯度项：

\partial E p \partial w ( l ) j i = \partial E p \partial z ( l ) j \partial z ( l ) j \partial w ( l ) j i = \partial E p \partial z ( l ) j a (l - 1) i

$\dfrac{\partial E_p}{\partial w_{ji}^{(l)}} = \dfrac{\partial E_p}{\partial z_j^{(l)}} \dfrac{\partial z_j^{(l)}}{\partial w_{ji}^{(l)}} = \dfrac{\partial E_p}{\partial z_j^{(l)}} a_i^{(l-1)}$

其中，

\partial E p \partial z ( l ) j = \partial E p \partial y k \partial y k \partial z ( l ) j = \partial { \sum m l + 1 k = 1 1 2 ( y k - t k ) 2 } \partial y k \partial h ( z ( l ) j ) \partial z ( l ) j = \sum k = 1 m l + 1 (y k - t k) h' (z (l) j)

$\dfrac{\partial E_p}{\partial z_j^{(l)}} = \dfrac{\partial E_p}{\partial y_k}\dfrac{\partial y_k}{\partial z_j^{(l)}} = \dfrac{\partial \{ \sum_{k=1}^{m_{l+1}} \dfrac{1}{2}(y_k-t_k)^2 \} }{\partial y_k}\dfrac{\partial h(z_j^{(l)})}{\partial z_j^{(l)}} = \sum_{k=1}^{m_{l+1}} (y_k-t_k) h'(z_j^{(l)})$ 如果激活函数h(.)为sigmod函数，则