Unique binary search trees 唯一二叉搜索树

题目

• Given n, how many structurally unique BST’s (binary search trees) that store values 1 … n?

• Example:

Input: 3
Output: 5
Explanation:
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST’s:

题意：给定数n ，二叉树的结点的值分别为1,2… …n。问能组成多少种不同的二叉搜索树。

二叉搜索树的性质： 在任一结点r的左（右）子树中，所有结点（若存在）均小于（大于）r。更一般性的特点是：任何一颗二叉树是二叉搜索树，当且仅当其中序遍历序列为单调非降。

基础知识一定要扎实，不然看到这题懵逼。。。

• 方法一： 递归
  思路： 空树和只有根节点时，也为BST。对于一点i，当其为根节点时，左子树的节点的个数为 i - 1，(为 1，… n-1),右子树为 n-i(i+1, … n)。对于一个根来说，唯一二叉树的个数为左子树结点的个数乘以右子树结点的个数。而根节点可以从1到n中选择。

• 在这里我报了Time Limit Exceeded错误。

class Solution{
public:
	int numTrees(int n)
	{
		if(n <= 1)  return 1;
		int sum = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			sum += numTrees(i - 1)*numTrees(n - i);
		}
		return sum;
	}
}

• 方法二：

还有大神说这是Catalan Number卡特兰数的一个例子。卡特兰数的的递推公式：

可以使用动态规划解决问题。维护向量sumNode，sumNode[i]为结点个数为i时，唯一二叉搜索树的个数。和这题相对应的意义，可以写出n较小的情况。

• 时间上每次求解i个结点的二叉查找树数量的需要一个i步的循环，总体要求n次，所以总时间复杂度是O(1+2+…+n)=O(n^2)。空间上需要一个数组来维护，并且需要前i个的所有信息，所以是O(n)。"
  

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) 
    {
        vector<int> sumNode(n+1,0);
        sumNode[0]=1;
        sumNode[1]=1;

        for(int i=2;i<=n;++i)
            for(int j=0;j<i;++j)　　//j符合条件时，最大为i-1，对照公式
                sumNode[i]+=sumNode[j]*sumNode[i-j-1];

        return sumNode[n];  
    }
};