数字图像处理之空间域滤波和锐化（Octave实现）

滤波这一概念可以结合数字信号处理这一领域中的滤波。而在数字图像处理中滤波可以分为空间域滤波和频率域滤波。这篇博文主要来学习下空间域滤波。

空间域滤波机理

  *空间滤波器由一个邻域（典型的是一个较小的矩形）构成，对该邻域所包围的像素按照一定的操作计算出目标像素的值，这一过程就是空间滤波器的工作机理*

例如：
假设有一个这样的3*3的滤波器(每个元素代表权值 $w$ )

T = ⎡ ⎣ ⎢ 111111111 ⎤ ⎦ ⎥

$T=\left[ \begin{matrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{matrix}\right]$
用T对下图进行滤波，其覆盖的第一个方块为红色的方框，对应元素相乘后结果求和，然后再求平均值（除以9），得出圆圈的像素。（这就是后边实现的均值滤波器）

空间相关与卷积

这里只是简单提一下这两个概念。

相关：滤波器位移过图像并计算每个位置乘积之后的处理
卷积：和相关相似，只是滤波器要先旋转 $180°$

线性滤波器和非线性滤波器

概念：线性滤波器是指对像素进行线性操作；否则则称为非线性滤波器。

你可能问，什么是线性操作呢？线性操作简单来说就是满足下面式子的操作：

f (x + y) = f (x) + f (y) f (a x) = a f (x)

$f(x+y) = f(x)+f(y)\\ f(ax) = af(x)$
均值滤波器就是一个典型的线性滤波器。
中值滤波器是一个典型的非线性滤波器。

平滑线性滤波器

平滑线性滤波器的主要作用是模糊处理和降低噪声。例如在提取图像的最大目标时，需要先进行模糊处理来降低噪声。然后增强某一阈值之上的灰度，来突出”亮”的部分。

T 1 = ⎡ ⎣ ⎢ 111111111 ⎤ ⎦ ⎥ T 2 = ⎡ ⎣ ⎢ 121242121 ⎤ ⎦ ⎥

$T_1=\left[\begin{matrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1\end{matrix}\right] T_2=\left[\begin{matrix} 1&2&1\\ 2&4&2\\ 1&2&1\end{matrix}\right]$
以上

T1 $T_1$ 为简单的均值滤波器，

T2 $T_2$ 为带权值的均值滤波器。后者更为重要些。
说了这么多，我们来实现一个简单的均值滤波器。

function [Image] = fliter (img, type)
%初始化滤波器模板
f = ones(3,3);
[x,y] = size(img);
Image = zeros(x,y);
%注意由于我们是3*3的滤波器，对第一个像素img(1,1)滤波时，滤波器会有
%一部分在图像外部，所以我们要初始一个带着一圈0的壳的图像
temp = zeros(x+2,y+2);
%把中间的部分赋值原来的数值
temp(2:x+1,2:y+1) = img;
for i=2:x+1
  for j=2:y+1
    %计算均值
    Image(i-1,j-1) = mean(mean(f.*temp(i-1:i+1,j-1:j+1))');
  end;
end;
endfunction

统计排序（非线性）滤波器

由名字可知，这是基于数理统计的一种滤波器，采用的是非线性的计算。

中值滤波器

他是将邻域中的灰度值排序，然后取中值作为替换中心元素的灰度值。例如：3*3的中值滤波器，取排序后的第5个元素。

实现代码：

function [Image] = medianFliter (img)
[x,y] = size(img);
Image = zeros(x,y);
temp = zeros(x+2,y+2);
%同上面均值滤波的作用
temp(2:x+1,2:y+1) = img;
for i=1:x
  for j=1:y
    t = temp(i:i+2,j:j+2);
    %median为求中值函数，需要将t转化为一个列向量
    Image(i,j) = median(t(:));
  end;
end;

endfunction

在原图中增加了椒盐噪声，可以看到，中值滤波后椒盐噪声基本被去除。
从左到右依次为原图、均值滤波后、中值滤波后

锐化空间滤波器

锐化：即增强图像中的边缘部分。边缘部分一般为灰度激变的部分。有photoshop的可以去试一下带的锐化功能。

准备知识

我们学习过高等数学中的积分和微分，别方，我尽量解释的容易理解一点同时也尽量准确点（说实话，让我正确的解释积分和微分我估计也解释不清楚）。

积分我们可以简单的理解为求和

一次函数积分不就是就其与 $x$ 轴所围面积的和吗？虽然有正负。那我们的均值滤波器可以思考下其实也是积分的原理，是离散的积分，计算出他们的乘积和，只不过最后又平均了一下。

微分我们可以简单的理解为求导

一阶微分（一阶求导）：我们高中就知道函数的一阶导数显示了函数斜率。斜率决定了函数变化的快慢。
二阶微分（二阶求（偏）导）：二阶求导就是在一阶的基础上继续求导。一阶导数也是一个函数的话，二阶求导可以理解为斜率变化的快慢。

通过下面这个图可以看出对于灰度激变图像，一阶和二阶的表现：
这里写图片描述
可以看出二阶对激变的时刻更加敏感。

知道来这些怎么对离散的灰度微分（求导）呢？

一阶微分:我们定义为两个像素之间的差值

\partial f \partial x = f (x + 1) - f (x)

$\frac{\partial f}{\partial x} = f(x+1) -f(x)$

二阶微分

\partial 2 f \partial 2 x = \partial f ( x + 1 ) \partial x - \partial f ( x ) \partial x = f (x + 1) + f (x - 1) - 2 f (x)

$\begin{align}\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x} &=\frac{\partial f(x+1)}{\partial x} -\frac{\partial f(x)}{\partial x} \\ &=f(x+1) + f(x-1) - 2f(x) \end{align}$

下面我们就正式开始进行图像锐化

这里我们采用二阶微分进行锐化先

这里有一个概念各向同性滤波器。它就是旋转图片后滤波结果仍然相同，与图像的突变方向无关。最为简单的各向同性微分算子是拉普拉斯算子。一个二维图像函数 $f(x,y)$ 的拉普拉斯算子定义为：

\nabla 2 f = \partial 2 f \partial x 2 + \partial 2 f \partial y 2 = f (x + 1, y) + f (x - 1, y) - 2 f (x, y) + f (x, y + 1) + f (x, y - 1) - 2 f (x, y)

$\begin{align}\nabla^2f &= \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\\ &=f(x+1,y) + f(x-1,y) - 2f(x,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y)\end{align}$
我们可以定义为这样的模板

T 3 = ⎡ ⎣ ⎢ 010 1 - 4 1 010 ⎤ ⎦ ⎥

$T_3=\left[\begin{matrix} 0&1&0\\ 1&-4&1\\ 0&1&0\end{matrix}\right]$

T 4 = ⎡ ⎣ ⎢ 111 1 - 8 1 111 ⎤ ⎦ ⎥

$T_4=\left[\begin{matrix} 1&1&1\\ 1&-8&1\\ 1&1&1\end{matrix}\right]$

T 5 = ⎡ ⎣ ⎢ 0 - 1 0 - 1 4 - 1 0 - 1 0 ⎤ ⎦ ⎥

$T_5=\left[\begin{matrix} 0&-1&0\\ -1&4&-1\\ 0&-1&0\end{matrix}\right]$

T 6 = ⎡ ⎣ ⎢ - 1 - 1 - 1 - 1 8 - 1 - 1 - 1 - 1 ⎤ ⎦ ⎥

$T_6=\left[\begin{matrix} -1&-1&-1\\ -1&8&-1\\ -1&-1&-1\end{matrix}\right]$

这样计算出一个图像的边界图像Temp，与原图像相加（相减），得到锐化的结果。（注意：边界图像中会有些部分小于0，我们要通过下面操作把他们置为0）

temp(temp<0) = 0;

最终表达式为：

g (x, y) = f (x, y) + c [\nabla 2 f (x, y)]

$g(x,y) = f(x,y)+c\left[\nabla^2f(x,y)\right]$
当采用上边

T3、T4 $T_3、T_4$ 模板时，c为-1，采用

T5、T6 $T_5、T_6$ 时，c=1;其中

T4、T6 $T_4、T_6$ 是包含对角变化

梯度的算子模板。
实现代码：

function [Image] = sharpen (img)
[x,y] = size(img);
Image = zeros(x,y);
temp = zeros(x+2,y+2);
temp(2:x+1,2:y+1) = img;
%这里我没有采用算子模板进行计算
for i=1:x
for j=1:y
   t = temp(i,j+1)+temp(i+2,j+1)+temp(i+1,j)+temp(i+1,j+2)-4*temp(i+1,j+1);
   Image(i,j) = t;
 end;
end;
Image(Image<0)=0;
figure;
imshow(uint8(Image));
Image = img.-Image;
endfunction

这里写图片描述
下面这张 c 错选为+号

非锐化掩蔽和高提升滤波

步骤：
1、模糊化原图。
2、原图减去模糊图像（差值称为模板）。
3、将模板加到原图。
令 $\overline{f}(x,y)$ 表示模糊图像，

非锐化掩蔽公式

g m a s k (x, y) = f (x, y) - f ¯ (x, y)

$g_{mask}(x,y) = f(x,y)-\overline{f}(x,y)$
然后，在原图加上模板的权重部分：

g (x, y) = f (x, y) + k * g m a s k (x, y)

$g(x,y) = f(x,y) +k*g_{mask}(x,y)$
当k= 1时，称为非锐化掩蔽，
当k> 1时，称为高提升滤波。

使用一阶微分对（非线性）图像锐化——梯度

这里可以参照这位博主的博文部分，
http://blog.csdn.net/ubunfans/article/details/42214925

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