MIP启发式算法：Variable fixing heuristic

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*参考文章见链接。

本文简单介绍一下Variable fixing heuristic，这个算法同样以local search为核心框架，它的特点在于定义邻域结构的方式。

Hard Variable fixing heuristic

Variable fixing heuristic 常常与Cplex一起使用。就像刚才提到的那样，variable fixing heuristic 同样以local searh为核心框架，所以Cplex主要用于求解邻域中的局部最优解。另外，variable fixing heuristic通常应用于0-1 MIP问题。以下以0-1 MIP 问题为例。

variable fixing heuristic 的过程

1）生成初始解x；

2）选择部分变量，固定这些变量的值；

3）用Cplex求解固定部分变量后的子问题；

4）如果Cplex求得的局部最优解x'优于初始解x，则将其作为新解x:=x'；

5）回（2），不断迭代，直至满足终止条件。

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备注：

1）生成的初始解x如果是integer feasible，那么“固定变量的值”的方式通常是选择其中部分的0-1变量，让其等于初始解对应变量的值。当然也可以考虑生成的初始解是integer infeasible，也就是说是一个Lp relaxation的解（考虑着这种情况是因为对于NP hard问题，求解其LP relaxation的速度远远比求解原问题迅速），那么“固定变量的值”的方式通常是选择部分变量，根据round固定为最近的整数解。

2）之所以会考虑固定部分变量的值，求解子问题，是因为固定部分变量的子问题的求解比原问题的求解更加迅速。

3）所以说variable fixing heuristic也是以local search为核心框架，特点在于邻域结构的定义。

4）variable fixing heuristic将local search与exact algorithm (Cplex)结合起来，启发了一些其他的算法，比如VNS和Cplex的结合。

Soft Variable fixing heuristic

hard variable fixing heuristic在定义邻域结构（求解子问题）时，已经确定好了哪些变量的值被固定。（即使可以在步骤（2）中可以实现随机选择固定的变量，但是在步骤（3）中求解子问题时哪些变量的值被固定已经是确定了的。那么在hard variable fixing 中如何选择固定的变量就变得尤其重要，一旦没选好，就可能错失优秀的解。所以有时候，我们可能并不是希望提前固定好一些变量的值，而是想着固定其部分变量，但具体是哪些变量，我们并不作要求，这样的操作可以尽可能避免由于固定错误的变量而导致的不良结果。基于这种考虑，soft variable fxing应运而生。