舒尔补/schur补

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n x n 的矩阵可以写成分块形式： $M = \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]_{n \times n}$其中 A 和 D 为方阵。

• 若 A 是非奇异的，则 A 在 M 中的舒尔补为： $D - CA^{-1}B$
• 若 D 是非奇异的，则 D 在 M 中的舒尔补为： $A - BD^{-1}C$

要记住上面的形式很容易，只要记住字母顺序 DCAB、ABDC 都是在 M 中顺时针排列的。

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若 A 非奇异，则有

$\left[\begin{matrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{matrix} \right]\tag{1}$
上式可以看作对矩阵 M 实施分块矩阵的初等行列变换。由 (1) 可得 $\left|\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right| = \left|\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{matrix} \right| = |A||D-CA^{-1}B|$此时 $M 非奇异 \Longleftrightarrow D-CA^{-1}B 非奇异$
同理，当 D 非奇异时 $M 非奇异 \Longleftrightarrow A-BD^{-1}C 非奇异。$

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分块矩阵的逆

由式 (1) 还可以方便地求得分块矩阵的逆。
$\left[\begin{matrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix} \right]^{-1} \left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]^{-1} \left[\begin{matrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{matrix} \right]^{-1} =\left[\begin{matrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{matrix} \right]$因而 $\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]^{-1} =\left[\begin{matrix} I & -A^{-1}B \\ 0 & I \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{matrix} \right] \left[\begin{matrix} I & 0 \\ -CA^{-1} & I \end{matrix} \right]$