P2885 [USACO07NOV]电话线Telephone Wire

最近，Farmer John的奶牛们越来越不满于牛棚里一塌糊涂的电话服务于是，她们要求FJ把那些老旧的电话线换成性能更好的新电话线。新的电话线架设在已有的N(2 <= N <= 100,000)根电话线杆上，第i根电话线杆的高度为height_i米(1 <= height_i <= 100)。电话线总是从一根电话线杆的顶端被引到相邻的那根的顶端如果这两根电话线杆的高度不同，那么FJ就必须为此支付 C*电话线杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。当然，你不能移动电话线杆，只能按原有的顺序在相邻杆间架设电话线。Farmer John认为加高某些电话线杆能减少架设电话线的总花费，尽管这项工作也需要支出一定的费用。更准确地，如果他把一根电话线杆加高X米的话，他得为此付出X^2的费用。请你帮Farmer John计算一下，如果合理地进行这两种工作，他最少要在这个电话线改造工程上花多少钱。

Solution

设计dp状态为 \(dp[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 个柱子，并且将第 \(i\) 个柱子的高度改造为 \(j\) 的最小花费
容易想出 \(dp\) 方程： \[dp[i][j] = min(dp[i - 1][k] + (j - h[i])^{2} + |j - k| * c)\]
复杂度 \(O(nC_{2})\)
考虑优化
发现绝对值比较难处理
我们先把无关 \(k\) 的值提出来，分类讨论处理一下绝对值
\[dp[i][j] = min(dp[i - 1][k] - c * k) + (j - h[i])^{2} + c * j\ \ \ (j \geq k)\]
\[dp[i][j] = min(dp[i - 1][k] + c * k) + (j - h[i])^{2} - c * j\ \ \ (j \leq k)\]

然后 \(min\) 里可以用一个变量维护
处理绝对值分别正序倒叙枚举即可

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
#define LL long long
#define REP(i, x, y) for(LL i = (x);i <= (y);i++)
using namespace std;
LL RD(){
    LL out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const LL maxn = 200019, inf = 0xfffffffffffffff;
LL num, c, h[maxn];
LL dp[maxn][119];
LL maxx;
void init(){
    num = RD(), c = RD();
    REP(i, 1, num)h[i] = RD(), maxx = max(maxx, h[i]);
    REP(i, 0, num)REP(j, 0, maxx)dp[i][j] = inf;
    }
void solve(){
    REP(i, h[1], maxx)dp[1][i] = (h[1] - i) * (h[1] - i);
    REP(i, 2, num){
        LL minn = inf;
        REP(j, h[i - 1], maxx){
            minn = min(minn, dp[i - 1][j] - j * c);
            if(j < h[i])continue;
            LL add = (j - h[i]) * (j - h[i]);
            dp[i][j] = min(dp[i][j], minn + add + j * c);
            }
        minn = inf;
        for(int j = maxx;j >= h[i];j--){
            minn = min(minn, dp[i - 1][j] + j * c);
            LL add = (j - h[i]) * (j - h[i]);
            dp[i][j] = min(dp[i][j], minn + add - j * c);
            }
        }
    LL ans = inf;
    REP(i, h[num], maxx)ans = min(ans, dp[num][i]);
    printf("%lld\n", ans);
    }
int main(){
    init();
    solve();
    return 0;
    }