1. 剩余系
指模正整数n的余数所组成的集合。
若一个剩余系中包含了这个正整数n所有可能的余数,则称为完全剩余系,记为Zn。(一般地,对于任意正整数n,有n个余数:0,1,2,…,n-1)
简化剩余系:简化剩余系也称既约剩余系或缩系,是m的完全剩余系中与m互素的数构成的子集。
2. 定义
若Zn中的两元素满足a*b=1,则称a,b互为模n意义下的乘法逆元。
3.实现
3.1 单个查询
3.1.1 扩欧
#include<bits/stdc++.h>
#define mo 100003
using namespace std;
int a,b,x,y,n,p;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
if(b==0){
x=1;y=0;
return a;
}
else{
int ret=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return ret;
}
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&p);
int tx=exgcd(n,p,x,y);
tx=x;
while(tx<0) tx+=p;
while(tx>=p) tx-=p;
cout<<tx<<endl;
return 0;
}
3.1.2 快速幂
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int x,y,n,mo;
long long fpow(long long x,long long w){
long long ans=1,res=w;
while(x){
if(x&1) ans*=res,ans%=mo;
res*=res,res%=mo;
x/=2;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&mo);
long long tx=fpow(mo-2,n);
cout<<tx<<endl;
return 0;
}
3.1.3 扩欧与快速幂的比较
据说是扩欧略快。
3.2 线性求法
3.2.1 递推法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[3000010],n,p;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&p);
a[1]=1;
printf("%d\n",a[1]);
for(register int i=2;i<=n;i++){
a[i]=1ll*(p-p/i)*a[p%i]%p;
printf("%d\n",a[i]);
}
return 0;
}
3.2.2倒推法
先求n!的逆元,然后倒推求出1!……(n-1)!的逆元(见3.3),然后根据(如图)即可推出。
3.3 阶乘的逆元
for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=i*fac[i-1]%mo;//阶乘
inv[n]=f_mul(fac[n],mo-2);//n!的逆元
for(int i=n-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mo;//倒推