图像处理 几何变换

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I have to remind myself that some birds don’t mean to be caged . Their feathers are just too bright. And when they fly away, the part of you that knows it was a sin to lock them up. DOES rejoice. Still, the place you live in is that much more drab and empty that they’re gone. I guess I just miss my friend. ——《肖申克的救赎》

前言

几何变换，又称空间变换，是图形处理的一个方面，是各种图形处理算法的基础。它将一幅图像中的坐标位置映射到另一幅图像中的新坐标位置，其实质是改变像素的空间位置，估算新空间位置上的像素值。几何变换算法一般包括空间变换运算和插值算法。

几何变换不改变图像的像素值， 只是在图像平面上进行像素的重新安排。适当的几何变换可以最大程度地消除由于成像角度、透视关系乃至镜头自身原因所造成的几何失真所产生的负面影响。几何变换常常作为图像处理应用的预处理步骤， 是图像归一化的核心工作之一。

一个几何变换需要两部分运算：首先是空间变换所需的运算， 如平移、缩放、旋转和正平行投影等， 需要用它来表示输出图像与输入图像之间的(像素)映射关系；此外，还需要使用灰度插值算法， 因为按照这种变换关系进行计算， 输出图像的像素可能被映射到输入图像的非整数坐标上。

概念

基础概念	说明
图像的几何变换	指用数学建模的方法来描述图像的位置、大小、形状等变换。
几何变换的内容	图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。
几何变换的实质	改变像素的空间位置。

图像集合变换的表达式

$(x, y) = T\{(u, v)\}$

• $(x, y)$为变换后图像像素的笛卡尔坐标， $(u , v)$为原始图像中像素的笛卡尔坐标。
• 变换后，如果 $(x, y)=(u , v)$，则变换后的图像仅仅是原图像的简单拷贝。
• 注意，几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。这说明像素的亮度和色彩并不发生变化，仅仅是像素位置发生改变。

齐次坐标表示

• 所谓齐次坐标就是用 $N+1$维向量表示 $N$维向量。
• 平面上的点 $P$的坐标为 $(x, y)$，其齐次坐标表示为 $(wx, wy, w)$，其中 $w$为任意常数。
• 如果规定齐次坐标的第三个分量 $w$为 $1$，则称为规范齐次坐标。

引入齐次坐标的原因

• 在对图像进行操作时候，经常要对图像连续做几次变换。例如做了平移后再做旋转与缩放。因为旋转、缩放都是线性变换，因此可将旋转和缩放合并成一个变换矩阵来表示，如：

${ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}^T$

• 在直角坐标系中，平移不是线性变换，因此不能与旋转、缩放等操作合并成一个变换矩阵。
• 引入齐次坐标后，平移变为线性变换，从而可以采用一个通用的变换模型（仿射变换模型）表示图像的各种几何变换。

仿射变换

${ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}^T$

• T仿射矩阵

$T=\left[ \begin{array}{ccc} a & b & p\\ c & d & q\\ m & n & s \end{array} \right ]$

• $a \ b \ c \ d$：实现比例变换、旋转变换、偏移变换
• $m \ n$：实现平移变换、 $m$和 $n$分别为 $X$和 $Y$方向的平移量。
• $s$：实现等比例变换
• $p \ q$：实现透视变换

图像的位置变换

• 所谓图像的位置变换是指图像的大小和形状不发生变化，只是将图像进行平移、旋转、镜像等。
• 图像的位置变换主要是用于目标识别中的目标配准。

平移

• 平移的原理：
  • 在图像平移是将一幅图像中所有的点都按照指定的平移量在水平、垂直方向移动，平移后的图像与原图像相同

平移变换

• 平移的直角坐标公式：

$\begin{cases} x=x_0+\Delta x & \text{$(x_0, y_0)$为平移之前的像素坐标}\\ y=y_0+\Delta y & \text{$(x, y)为对应像素平移后的坐标$} \end{cases}$

• 平移的齐次坐标公式

${ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}\times{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ \Delta x & \Delta y & 1 \end{array} \right ]}$

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平移的逆变换

• 平移的直角坐标公式：

$\begin{cases} x=x_0 - \Delta x & \text{$(x_0, y_0)$为平移之前的像素坐标}\\ y=y_0 - \Delta y & \text{$(x, y)为对应像素平移后的坐标$} \end{cases}$

• 平移的齐次坐标公式

${ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}\times{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -\Delta x & -\Delta y & 1 \end{array} \right ]}$

• 说明：平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。

图像的镜像

前置条件：设图像高度为 $H$，宽度为 $W$，原图中的像素点 $(x_0 , y_0)$经过镜像后的坐标为 $(x , y)$。

水平镜像：以图像的垂直中轴线为中心交换图像的左右两部分。

• 水平镜像的直角坐标公式：

$\begin{cases} x=x_0 \\ y=W - y_0 \end{cases}$

• 水平镜像的齐次坐标公式

${ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}\times{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & W & 1 \end{array} \right ]}$

垂直镜像：以图像的水平中轴线为中心交换图像的上下两部分

• 垂直镜像的直角坐标公式：

$\begin{cases} x=H - x_0 \\ y=y_0 \end{cases}$

• 垂直镜像的齐次坐标公式

${ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}\times{ \left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ H & 0 & 1 \end{array} \right ]}$

图像的旋转

前置条件：图像中的像素点旋转前的坐标为 $(x_0, y_0)$，与y轴的角度为 $\alpha$，旋转 $\theta$角度后的坐标为 $(x, y)$，与y轴的角度为 $\alpha - \theta$。

直角坐标公式

• 旋转前
  • $x_0=rsin\alpha$
  • $y_0=rcos\alpha$
• 旋转后
  • $x=rsin(\alpha-\theta)=r(sin\alpha cos\theta-cos\alpha sin\theta)=x_0cos\theta-y_0sin\theta$
  • $y=rcos(\alpha-\theta)=r(cos\alpha cos\theta+sin\alpha sin\theta)=y_0cos\theta + x_0sin\theta$
• 整理旋转后的公式
  • $x=x_0cos\theta - y_0sin\theta$
  • $y=x_0sin\theta + y_0cos\theta$

齐次坐标公式

${ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}\times{ \left[\begin{array}{ccc} cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]}$

图像旋转出现的问题

• 导致在旋转后的图像中出现空洞点
  • 旋转计算后的值为小数或者负数，而坐标值应该为正整数。
  • 旋转计算后的结果值所在范围与原坐标所在的范围不同。
• 解决方法
  • 图像旋转出现的两个问题的本质都是因为像素值的填充是不连续的。
  • 可以采用插值填充的方法来解决。

图像形状的变换

形状变换类型	说明
偏移变换	三维物体投影到平面时所产生的水平方向或者垂直方向的形状变化。
平面上比例变换	放大、缩小等。

水平偏移

直角坐标公式

$\begin{cases} x=x_0 \\ y=S_hx_0+y_0 \end{cases}$

齐次坐标公式

${ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}\times{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & S_h & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & S_hx_0+y_0 & 1 \end{array} \right ]}$

垂直偏移

直角坐标公式

$\begin{cases} x=x_0 + S_vy_0 \\ y=y_0 \end{cases}$

齐次坐标公式

${ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}\times{ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ S_v & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0+S_vy_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}$

图像的比例变换

直角坐标公式

$\begin{cases} x=c_xx_0 & \text{比例系数>1：放大}\\ y=c_yy_0 & \text{比例系数<1：缩小} \end{cases}$

齐次坐标公式

${ \left[\begin{array}{ccc} x & y & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} x_0 & y_0 & 1 \end{array} \right ]}\times{ \left[\begin{array}{ccc} c_x & 0 & 0\\ 0 & c_y & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right ]}={ \left[\begin{array}{ccc} c_xx_0 & c_yy_0 & 1 \end{array} \right ]}$

图像的比例缩放的算法

图像的缩小

图像的缩小实际上就是对原有的多个数据进行挑选或者处理，从而获得期望缩小尺寸的数据，并且尽量保持原有的特征不丢失。最简单的方法就是等间隔的选取数据。

图像的放大

图像的放大从字面上看，是图像缩小的逆操作，但是从信息处理的角度来看，则难易程度完全不一样。

图像缩小是从多个信息中选出所需要的信息，而图像放大则是需要对多出的空位填入适当的值，是信息的估计，较图像缩小难度更大。

插值方式	效率	说明
最近邻插值	简单、快速	将放大后未知的像素点位置换算到原始图像上，并与原始图像上邻近的4个像素点做比较，最靠近的【如欧式距离等方式计算】邻近点的像素值即为该像素点的像素值。
双线性插值	较慢	将放大后未知的像素点位置换算到原始图像上，并将原始图像上邻近的4个像素点的灰度级别加权求和得到（权值可以采用距离进行度量，距离越近，权值越大）。
双三线性插值

• 从理论上讲，最近邻插值的效果最差，双三次插值的效果最好，双线性插值的效果介于两者之间。
• 最近邻插值：算法简单，插值结果不连续，视觉上锯齿效应明显
• 双线性插值：插值的结果是连续的，视觉上比最近邻插值要平滑

双线性插值

双向性插值法将放大后未知的像素点位置换算到原始图像上，并将原始图像上邻近的4个像素点的灰度级别加权求和得到。这里的加权采用的是 $欧式距离等距离公式/[Width \ Height]$。

前置条件	图例
假设放大之后的图像 $G$的像素点 $P$换算到原始图像上的位置为 $(x+\Delta x, y+\Delta y)$，则在F上的4个邻近点的 $A、B、C、D$分别为 $(x, y)$、 $(x, y+1)$、 $(x+1, y)$、(x+1, y+1)，而 $e$和 $f$的点的位置为 $(x, y+\Delta y)$和 $(x+1, y+\Delta y)$。 说明：横向为y轴，竖向为x轴。

注意，这里采用的是欧式距离来计算距离，作为权值。

假如存在两个点 $A(x_1, y_1)$， $B(x_2, y_2)$，则欧式距离为：

$distance = \sqrt {(x_1 -x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

所以权值的计算为： $weight = \frac {distance}{width`s \ distance}$或者 $weight = \frac {distance}{height`s \ distance}$。

双线性插值算法原理分析：

• 首先计算水平方向 $A(x, y)$、 $B(x, y+1)$对 $P(x+\Delta x, y+\Delta y)$的影响，得到 $e$点的灰度值

$F(x, y+\Delta y)=\frac {\sqrt{(x-x)^2+((y+1)-(y+\Delta y))^2}}{\sqrt{((x-x)^2+((y+1)-y)^2}}F(x, y)\\ +\frac {\sqrt {(x-x)^2+((y+\Delta y)-y)^2}}{\sqrt{((x-x)^2+((y+1)-y)^2}}F(x, y+1)$

• 计算 $C(x+1, y)$、 $D(x+1, y+1)$对 $P(x+\Delta x, y+\Delta y)$点的影响，得到 $f(x+1, y+\Delta y)$点的灰度值

$F(x+1, y+\Delta y)=\frac {\sqrt{((x+1)-(x+1))^2+((y+1)-(y+\Delta y))^2}}{\sqrt{((x+1)-(x+1))^2+((y+1)-y)^2}}F(x+1, y)\\ +\frac {\sqrt {((x+1)-(x+1))^2+((y+\Delta y)-y)^2}}{\sqrt{((x+1)-(x+1))^2+((y+1)-y)^2}}F(x+1, y+1)$

• 计算 $e(x, y+\Delta y)$、 $f(x+1, y+\Delta y)$对于 $P(x+\Delta x, y+\Delta y)$点的影响，得到 $P(x+\Delta x, y+\Delta y)$点的灰度值

$F(x+\Delta x, y+\Delta y)=\frac {\sqrt{((x+1)-(x+\Delta x))^2+((y+\Delta y)-(y+\Delta y))^2}}{\sqrt{((x+1)-x)^2+((y+\Delta y)-(y+\Delta y))^2}}F(x, y+\Delta y)\\ +\frac {\sqrt {((x+\Delta x)-x)^2+((y+\Delta y)-(y+\Delta y))^2}}{\sqrt{((x+1)-x)^2+((y+\Delta y)-(y+\Delta y))^2}}F(x+1, y+\Delta y)$

附录

• 几何变换算法