[学习笔记]Tarjan

本篇并不适合初学者阅读。

SCC：

1.Tarjan缩点：x回溯前，dfn[x]==low[x]则缩点。

注意：

①sta，in[]标记。

②缩点之后连边可能有重边。

2.应用：

SCC应用范围还是很广的。

基本思路是：Tarjan+topo

DAG是个好东西。

各种判断连通性（传递关系），计数，以及dp转移

感觉90%以上的tarjan都是考SCC

例题：最大半连通子图（这个题注意缩点后的重边）

衍生应用算法：

①2-SAT

②完备匹配的二分图必须边和可行边。

E-DCC

1.Tarjan找桥：x的一个子节点y，dfn[x]<low[y]，边就是桥

注意：

①in_edge，对称建边号。不能从in_edge^1出发。但是可以走重边。

然后不经过桥dfs，找E-DCC

2.应用：

①最短路的必经边：建出最短路图，找桥即可。

②例题：poj3694

找出桥边，E-DCC缩点。

对于询问(x,y)x,y不在一个DCC，

找LCA，之后可以往上暴力找路径，干掉桥。

然鹅使用并查集更快。

O(M+N+Qlogn)

V-DCC

1.找割点：dfn[x]<=low[y]不用管重边什么的。

注意：

①搜索树根节点要有两次符合，才是割点。

其实对于割点x，dfn[x]<=low[y]的出点y，这些y一定在不同的DCC中。

缩点：

除了孤立点之外，每个DCC大小至少为2

每个割点属于多个DCC

用栈维护。

如果某个点满足dfn[x]<=low[y]

那么，不断弹出栈顶，直到y弹出。

把这些点和x都放进一个DCC中。（vector存）

可以发现一个x属于多个DCC

缩点的时候，

先把割点设置编号(cnt+1~cnt+tot)cnt是DCC个数

tot是割点个数

循环所有的DCC，循环所有的成员

如果找到割点，就让这个割点和这个DCC连边。

连出一个黑点白点相间的树（黑点可以认为是割点）

例题：

[HNOI2012]矿场搭建

分类讨论即可

KNIGHTS - Knights of the Round Table

性质题，

建立反图。没有仇恨的人连边。

没有出现在任何一个简单奇环中的骑士滚蛋

V-DCC缩点

如果两个骑士DCC不同，一定不能同时出席。（否则在一个奇环中的话，那么两个DCC可以合并。矛盾）

如果一个DCC中有奇环，那么DCC中的所有骑士都可以被一个奇环包含。（可以构造）

综上，一个骑士被包含，因为不能和其他DCC合作，所以必须当且仅当自己的DCC中有奇环

Tarjan+二分图染色判断奇环

附赠福利：

欧拉回路：

void dfs(int x){

for(each son)
if(!vis[i]){

vis[i]=vis[i^1]=1;

dfs(e[i].to)
}

sta[++top]=x;

}

然后sta倒着输出即可。

至于每个点访问多次，可以弧优化减少枚举。