序言
刚刚写完了双联通分量(吮指原味鸡),我就跑来写强连通分量(香辣鸡翅)了是不是很贴心(美味)。
(大家都知道你是来填坑的。)
码完这篇我就去学习国家历史了。
这篇Blog可以膜百科了。
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还可以膜dalao了。
前置技能
强连通
在有向图 中,若点 能够互相到达,则称这两点是强连通的。
性质
有一个显然的性质:若两点强连通,那么这两点必定在同一个环内。
强连通图
若在有向图 中,任意两点都是强连通的,则称图 是强连通图。
强连通分量
在有向图
中,称其极大强连通子图为强连通分量。强连通图本身就是一个强连通分量。
前置技能Get!
Tarjan
在Tarjan全家桶中,最广为人知的就是强连通分量算法了,采用的是Depth-First-Search(大法师)。
我们引入两个时间戳:
:每个点在DFS中被搜索到的次序。(第几个被搜到)
:在点
的DFS子树中,搜索到的最小
。(包括返祖边指向点)
根据定义,可给出求解伪代码:
Tarjan(当前点u)
{
dfn(u) = low(u) = ++cnt
for (u的出边(u, v))
{
if (dfn(v) = 0)//v点没有被搜索过
{
点v在点u的子树中
Tarjan(v)
low(u) = min(low(u), low(v))
}
else
{
点v不在点u的子树中
low(u) = min(low(u), dfn(v))
}
}
}
那如何求解强连通分量呢?
延续上面的过程,在遍历图时,将搜索到的点压入栈中。
显然,对于点
的DFS子树,若其是原图的强连通分量,那么
。
肯定有好奇的小宝宝问为什么结论是正确的。
证明:
若
,则说明在点
的子树中存在指向点
祖先的返祖边,不满足极大这一条件。
所以,当 时,弹出栈中元素到 ,即为原图的一个强连通分量。