[HDU3544] Alice's Game(网上有些讲解是错的)

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[HDU3544] Alice’s Game

题意：

 给n块巧克力，第i块是 $n_i*m_i$，Alice只能垂直切，切成 $A*m和B*m$,并且 $A+B=n$,Bob只能横切，只能切成 $A*n和B*n$，并且 $A+B=m$

分析：

语言表达能力有限

我们采取 $HP(n,m)$表示 $n*m$的矩形对Alice的可切割次数的贡献,负数代表对Bob的贡献，如果所有 $\sum{HP_i}> 0$ ，Alice必赢， $\sum{HP_i} <= 0$，Bob(必赢)
对于HP(i,j) 的计算我们有如下法则
1. $n*1$ 的矩形贡献为n-1
2. $1*m$ 的矩形贡献为-(m-1)
3. $2*2,3*3,4*4..n*n$的矩形对HP的贡献为零，因为如果你首先下手切，都会给对手更多的机会，如果你能赢，你不会切这个，如果你输，那么切了这个你还会输。
4. 对于 $2*3,3*2,5*4... ,$的矩阵来说与3的状况相同，对答案的贡献都是0，首先下手都会给对手更多的机会
5. 贡献为零的有什么规律呢，我们发现原来是它们是 $2^k <= n < 2^{k+1}$&& $2^k <= m < 2^{k+1}$
6. $n*2$ 的矩形对于Alice来说有贡献，我们每一次可以选择都切成 $2*2,3*2$的矩形，这样不会给对手机会，自己还可以增加一次切的机会，Bob也不会傻到切这个矩形，这样会给Alice更多机会,所以 $n*2$的矩形，Alice 可以切 $n/2-1$ 次
这个时候可以总结一下规律：

1. 我们每一次切,都会切成 $HP(i,m) = 0,HP(n-i,m) >= 0$的 两块， $HP(n,m) = HP(n-i,m)+1$，递归下去 $HP(n-i-j,m) = HP(n-i-j,m)+1$,直到 $HP(n-i-j....,m) = 0$,这怎么计算呢
2. 我们知道 $HP(n,m) = 0$ 当且仅当 $2^k <= n < 2^{k+1}$&& $2^k <= m < 2^{k+1}$
3. 那么就有 $HP(n,m) = n/(2^{k}) - 1$

参考代码

初级

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL solve(LL x,LL y)
{
    LL t  = 1;
    while(t*2 <= y)
        t <<= 1;
    return x/t;
}
int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    for(int kase = 1; kase <= T; ++kase)
    {
        scanf("%d",&n);
        LL x,y;
        LL sum=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%lld%lld",&x,&y);
            if(x > y) sum += solve(x,y)-1;
            else sum -= solve(y,x) -1;
        }
        printf("Case %d: ",kase);
        if(sum > 0) puts("Alice");
        else        puts("Bob");
    }
    return 0;
}

简化

下面这个版本就是大家在其他博客上看到的答案了
就是不停的对两边除以2，其实原理和 $n/2^{k}-1$相同

#include <cstdio>
typedef long long LL;
int main()
{

    int T; scanf("%d", &T);
    for(int kase = 1; kase <= T; kase++)
    {
        int n; scanf("%d", &n);
        LL a = 0, b = 0;
        while(n--)
        {
            int x, y;
            scanf("%d%d", &x, &y);
            while(x > 1 && y > 1) { x >>= 1; y >>= 1; }
            if(y == 1) a += (LL)x - 1;
            if(x == 1) b += (LL)y - 1;
        }
        printf("Case %d: %s\n", kase, a > b ? "Alice" : "Bob");
    }

    return 0;
}