今天看了java中的二进制操作，突然发现本科上电路课程的时候就没有理解计算机采用补码存储二进制数的原因，以及补码的推导。这次算是补课了。
1 补码的概念
- 正数的补码是其本身
- 负数的补码：原码->反码->补码（符号为变为1，除符号位取反，加1）
补码本身就是分段函数，相当于专为负数设计。
2 使用补码的原因
- 减法可以变成负数的加法，因此加法和减法可以统一处理。
- 使用补码，可以将符号位和数值域统一处理，不需要单独计算符号位（原因看后面补码的推导过程）。
- 补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。
3 补码的推导
3.1 模
模是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也是一个计算器，它也是有一个计量范围，即都存在一个“模”。如时钟的计量范围是0~11，模=12。32位计算机的计量范围是232，模=232。“模”是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数，如12的余数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。
3.2 补数
补码将二进制数的正负号放入符号位中，在推导过程中，我们先不把减法转化为负数的加法，而是通过对二进制数的减法推导出负二进制数的补码。
假设当前时针指向11点，而准确时间是8点，调整时间可有以下两种拨法：一种是倒拨3小时，即：11-3=8。另一种是顺拨9小时：11+9=12+8=8。在以模为12的系统中，加9和减3效果是一样的，因此凡是减3运算，都可以用加9来代替。对“模”12而言，9和3互为补数（二者相加等于模）。所以我们可以得出一个结论，即在有模的计量系统中，减一个数等于加上它的补数，从而实现将减法运算转化为加法运算的目的。
3.3 补码的推导
假设我们的寄存器位数为4，即最多可以存4位的二进制数，则其计量范围即模是2^4=16。由于最左边位用于存放符号位，所以其能够表示的范围是-7～8。现在以计算5-3为例进行推导。
# 按以上理论，减一个数等于加上它的补数，所以
5 - 3
# 等价于
5 + (16 - 3) // 算术运算单元将减法转化为加法
# 用二进制表示则为：
0101 + (10000 - 0011)
# 等价于
0101 + ((1 + 1111) - 0011)
# 等价于
0101 + (1 + (1111 - 0011))
# 等价于
0101 + (1 + 1100) // 括号内是3（0011）的反码+1，正是补码的定义
# 等价于
0101 + 1101
# 因为5-3等价于5+(-3)，所以
-3 = 1101
# 即 `-3` 在计算机中的二进制（补码）为 `1101`。
# 最后一步 0101 + 1101 等于
10010
因为我们的寄存器是4位的，第一位“溢出”了，所以我们只保存了4位，即0010，而当计算机去读取时这正是我们所期望的2。
4 "0"的补码
在计算机中，有+0和-0之分。
- +0:原码，反码，补码均为0000.
- -0:原码1000，反码1111，补码0000.
可以看到0的补码只有一个，而原码有两个。这就产生了一个问题，4位的二进制数的补码个数比原码个数多一个，例如1000（对于原码是0，对于补码我们通常将其设为8）。这就可以解释int的范围问题。
5 有符号左移、有符号右移，无符号右移
由于计算机中存储二进制的补码，因此执行有符号的左移和右移相当于在保证符号的情况下进行幂运算。