题面
题意
一个集合如果是完美的，则集合如果包含a，b，那么a^b也一定在这个集合内，求所有最大数小于等于n的集合数量。
做法
对于完美集合，我们可以发现一个线性基一定对应一个合法的完美集合，因此我们可以对线性基进行数位dp，因为一个完美集合可以对应多种线性基，所以可以通过高斯消元使其唯一，也就是说，对于一个经过高斯消元的线性基的每一位，如果它是某个基的最高位，则只有那一个基的这一位为1，反之任何最高位大于这一位的基的这一位可以为任意数（满足最大值小于等于n时），且所有基的异或值即为这个线性基所能表示的最大值。
因此可以进行数位dp,dp[i][j][k]表示当前考虑的位为第i位，已经选了j个基，k表示其是否受k的性质。
当不受n的限制时，即无论后面几位怎么样，其最大值都不会大于n：
若添加以i为最高位的基时，dp[i][j][0]可以转移到dp[i-1][j+1][0]，且只有一种转移方式，因为前j个基的这一位都是0.
若不添加以i为最高位的基时，dp[i][j][0]可以转移到dp[i-1][j][0]，且有(1 << j)种转移方式，因为前j个基的这一位可以为任意数.
当受到n的限制时:
如果n的第i位为0：
显然不能添加以i位最高位的基，否则异或值必将大于n，而且前j个基的这一位不能随便选，要保证前j位的异或值的第i位为0，即前j个基种一共有偶数个基的这一位是1，这可以用组合数去算，也就是说dp[i][j][1]可以转化到dp[i-1][j][1],有F(j,0)种转移方式。
F(j,0)=C(j,0)+C(j,2)+C(j,4)…
如果n的第i位为1：
若添加以i这一位为最高位的基，则同理，仅一种转移：dp[i][j][1]转移到dp[i-1][j+1][1]
若不添加，则有以下两种情况：
1.前j位中，第i位为1的数一共有偶数个时，则最大值的第i位一定为0，此线性基的最大值一定小于n，因此dp[i][j][1]可以转移到dp[i-1][j][0],有F(j,0)中转移方式。
2.前j位中，第i位为1的数一共有奇数个时，则最大值的第i位为1，此线性基的前j+1位仍然与n相同，其最大值不一定小于n，故dp[i][j][1]可以转移到dp[i-1][j][1],有F(j,1)中转移方式。
F(j,1)=C(j,1)+C(j,3)+C(j,5）…
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define N 40
#define M 1000000007
using namespace std;
ll n,m,C[N][N],cnt[N][2],dp[N][N][2],ans;
inline void add(ll &u,ll v)
{
u+=v;
u%=M;
}
int main()
{
ll i,j;
cin>>n;
for(i=1;i<=n;i<<=1,m++);
for(i=0; i<=m; i++)
{
C[i][0]=C[i][i]=1;
for(j=1; j<i; j++)
{
C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%M;
}
for(j=0; j<=i; j++)
{
add(cnt[i][j&1],C[i][j]);
}
}
dp[m][0][1]=1;
for(i=m; i>=1; i--)
{
for(j=0; j<=m; j++)
{
add(dp[i-1][j][0],dp[i][j][0]*(1 << j)%M);
add(dp[i-1][j+1][0],dp[i][j][0]);
if((1 << (i-1))&n)
{
add(dp[i-1][j][0],dp[i][j][1]*cnt[j][0]%M);
add(dp[i-1][j][1],dp[i][j][1]*cnt[j][1]%M);
add(dp[i-1][j+1][1],dp[i][j][1]);
}
else add(dp[i-1][j][1],dp[i][j][1]*cnt[j][0]%M);
}
}
for(i=0; i<=m; i++)
{
add(ans,dp[0][i][0]+dp[0][i][1]);
}
cout<<ans;
}