CF388D Fox and Perfect Sets

一、题目

点此看题

二、解法

我们考虑用线性基表示 $S$，集合 $S$还需要一些线性基组合出来的，但是不在线性基内的数，我们就保证线性基的最大值在 $n$以内。但是还要保证映射的唯一性，我们把线性基消除成上三角形式，就是如果一个基的最高位有值，那么其他基就必须 $0$，举个例子（ $\text{makedown}$小技巧：二级对齐\begin{alignedat}{2}\end{alignedat}）：
$\begin{alignedat}{2} 1xxx&0xxx&0\\ &1xxx&0\\ &&1 \end{alignedat}$其中 $x$可以随便填，这样就可以保证一一对应，从两方面说明：如果基位置不同或者基个数不同，那么集合肯定不同，如果 $x$不同那么集合也不同。这样就说明了是唯一映射。

那么问题变成了求满足上述条件的线性基个数，可以考虑二进制位 $dp$，设 $dp[i][j][k]$表示从高到低位，现在到了 $i$这一位， $j$为基的个数， $k$表示 $max$是否顶到上界，满足条件的线性基个数，来讨论一波转移。

Case one：k=0

• 不新加入基，而是修改 $x$（含义见上图），然后我们随便怎么填都能满足条件，因为当前的 $k$已经为 $0$了，转移： $dp[i-1][j][0]=dp[i][j][0]\times 2^j$
• 新加入基，转移： $dp[i-1][j+1][0]=dp[i][j][0]$

Case two：k=1

如果 $n$在 $i-1$上有值的话：

• 使最大值 $i-1$位为 $0$，那么： $dp[i-1][j][0]=x\times dp[i][j][1]$，其中 $x$是 $i-1$位为 $0$的方案数（如果 $j=0$那么 $x=1$，否则 $x=2^{j-1}$）
• 使最大值 $i-1$位为 $1$，那么： $dp[i-1][j][1]=y\times dp[i][j][1]$，其中 $y$是 $i-1$位为 $1$的方案数（如果 $j=0$那么 $y=0$，否则 $y=2^{j-1}$）
• 加入一个基： $dp[i-1][j+1][1]=dp[i][j][1]$

$otherwise$，只能让当前位为 $0$： $dp[i-1][j][1]=x\times dp[i][j][1]$

#include <cstdio>
#define int long long
const int jzm = 1e9+7;
int read()
{	
	int x=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') if(c=='-') flag=-1;
	while(c>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*flag;
}
int n,ans,dp[35][35][2];
int add(int &a,int b)
{
	a=(a+b)%jzm;
}
signed main()
{
	n=read();
	dp[30][0][1]=1;
	for(int i=30;i>0;i--)
		for(int j=0;j<=30;j++)
		{
			add(dp[i-1][j][0],(1<<j)*dp[i][j][0]%jzm);
			add(dp[i-1][j+1][0],dp[i][j][0]);
			int x=j?(1<<j-1):1,y=j?(1<<j-1):0;
			if(n>>(i-1)&1)
			{
				add(dp[i-1][j][0],x*dp[i][j][1]%jzm);
				add(dp[i-1][j][1],y*dp[i][j][1]%jzm);
				add(dp[i-1][j+1][1],dp[i][j][1]);
			}
			else add(dp[i-1][j][1],x*dp[i][j][1]%jzm);
		}
	for(int i=0;i<=30;i++)
		add(ans,dp[0][i][0]),add(ans,dp[0][i][1]);
	printf("%lld\n",ans);
}