一些 NOIP 常用算法的时间复杂度

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一些 NOIP 常用算法的时间复杂度

参考资料：算法进阶指南第2版（刚才上网查了一下，https://www.zhihu.com/question/40990125 ，好像不会有版权问题，如果有版权问题，可以评论里说一下，如果我看到会尽快处理）

图论算法

设 $n=|V|,m=|E|.$

搜索

用邻接表存图：

算法	时间复杂度
DFS、BFS	$O(mn)$

用邻接矩阵存图：

算法	时间复杂度
DFS、BFS	$O(n^2)$

最短路

单源最短路径

要求所有边的长度为非负数

算法	时间复杂度
Dijkstra 算法	$O(n^2)$
堆优化的 Dijkstra 算法	$O((m+n)\lg{n})$

适用于所有有向图

算法	时间复杂度
Bellman-Ford	$O(mn)$
SPFA	最坏 $O(mn)$，但大多数情况下很快

任意两点间最短路

算法	时间复杂度
Folyd 算法	$O(n^2)$

树相关

最小生成树

算法	时间复杂度
Kruskal 算法	$O(m\lg{m})$
Prim 算法	$O(n^2)$
堆优化的 Prim 算法	$O(m\lg{n})$

LCA

算法	时间复杂度
倍增	初始化： $O(n\lg n)$，查询： $O(1)$
基于 ST 表的算法	初始化： $O(n\lg n)$，查询： $O(1)$

DP

背包问题

01背包问题

$O(VN)$

其它：待填坑

数据结构

并查集

设最开始有 $n$ 个集合。
路径压缩优化后：

操作	时间复杂度
合并两个集合	$O(\alpha(n))$
查询元素所在集合	$O(\alpha(n))$

树状数组

设原数组有 $n$ 个元素。
单点修改、区间求和：

操作	时间复杂度
单点修改	$O(n\lg n)$
区间求和	$O(n\lg n)$

区间加减、单点查询（将原数组的差分数组进行单点修改、区间求和操作）：

操作	时间复杂度
区间加减	$O(n\lg n)$
单点查询	$O(n\lg n)$

线段树

线段树常数比较大。

操作	时间复杂度
单点修改	$O(n\lg n)$
区间求和、求最值	$O(n\lg n)$
区间加减	$O(n\lg n)$
单点查询	$O(n\lg n)$

ST表

初始化： $O(n\lg n)$
区间求最值： $O(1)$