codeforces EC52 div2E. Side Transmutations(组合数学）

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题意

给定一个字符集的大小 $|A|$，可以从中选取 $n$个字符(可重复)组成一个字符串，这里规定，字符串 $S$若经过以下一系列变化所得的字符串 $T$，那么认为 $S == T$。

1. 选取有效的 $b_i$，令 $k = b_i$。
2. 取字符串 $S$的前 $k$个字符组成一个字符串 $S_{pre}$。
3. 取字符串 $S$的后 $k$个字符组成一个字符串 $S_{suf}$
4. 将 $S_{pre},S_{suf}$各自翻转并交换组成新的字符串T。

输入规定 $b_0<b_i<b_{i+1} < \dots < b_k$，且 $b_i$可以任选多次。问能组成多少个不同的字符串。

题解

对于给定的 $0 < b_i < b_{i+1} < \dots < b_k$，对于这些操作，现把问题转换一下，实际上就是对 $[b_{k-1},b_{k}),[b_{k-2},b_{k-1})\dots，[0,b_1)$进行操作，每个区间之间都互不相关，可以看成独立的n个事件组成一个大事件，即对应的乘法原理，n个事件的方案相乘。设每个区间满足条件的字符串个数为 $cnt_i$。
$cnt_i$为长度为 $i$的字符串的对数。分为两种情况考虑，将左边的串称为L，右边称为R，设 $S = |A|^i$

1. 翻转后 R = L ，那么只有S种
2. 翻转后 R != L，那么有 $\complement_{S}^{2}$种

总和为 $\frac{|A|^{2i}+|A|^i}{2}$
对于每个区间都有 $cnt_{len}$个字符串可选 。那么总的方案数为
$cnt_{b_1}\prod_{i=2}^{k}cnt_{b_i-b_{i-1}} *|A|^{n-2b_k}$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod =  998244353;
const int maxn = 2e5+5;
ll pow_mod(ll x, ll n) {
	ll res = 1;
	while(n) {
		if(n&1) res = res*x%mod;
		x = x*x%mod;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}
ll n,m,A,inv;
ll b[maxn];
ll get(ll i) { // cnt_i
	return (pow_mod(A,2*i)+pow_mod(A,i))%mod*inv%mod;
}

int main() {
	inv = pow_mod(2,mod-2);
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &A);
	ll mx;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		scanf("%lld", &b[i]);
		mx = b[i];
	}
	for(int i = m; i >= 1; --i)
		b[i] = b[i]-b[i-1];
	ll AL = pow_mod(A,n-2*mx);
	ll ans = 1;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		ans = (ans*get(b[i]))%mod;
	}
	ans = ans*AL%mod;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}