奶牛逃亡

题目描述

Farmer John忘记修复他农场篱笆上的一个大洞，以至于篱笆围着的N（1<= N <=1,000）只奶牛从大洞中逃脱出来，并在农场里横冲直撞。每头在篱笆外的奶牛每分钟都将给他带来一美元的损失。FJ必须遍及每头奶牛、安抚它们来停止这些损失。幸运的是，这些奶牛被定位在农场外的直线道路上的不同位置。 FJ知道每头奶牛相对于FJ的位置P_I（-500,000<= P_I的<=500000，P_I=0），FJ所处的位置记为位置0。FJ每分钟可以移动一个单位的距离，并可以当即完成对奶牛的安抚，停止他们造成的损失。请确定FJ安抚奶牛的顺序，使得他可以最大限度地减少经济损失，并计算出在此顺序下的总损失。

题解

看到N的范围容易想到这是一个 $O(n^2)$的算法，思考一下我们有什么可以当作两维的变量，一个是区间DP，一个是利用题目中的特点分成两部分DP。这题用区间DP显然是不合适，于是我们看到这道题目特殊的两个维度，正半轴和负半轴，于是我们从这思考如何DP。记f[i][j]为左边框了i只右边框了j只的状态，但是这样显然不够，因为我们还是不知道我们应该是从[i-1][j]的左边牛还是右边牛转移过来，于是我们再加一维表示当前状态下我在的位置（左和右），于是就能转移了。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define maxn 1005
#define MAXN 100005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
using namespace std;
LL read(){
	LL res=0,f=1; char c;
	while(!isdigit(c=getchar())) if(c=='-') f=-1;
	res=c^48;
	while(isdigit(c=getchar())) res=(res<<1)+(res<<3)+(c^48);
	return res*f;
}
int n,m,A[maxn],B[maxn],a,b,f[maxn][maxn][2];
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=read();
		if(x<0) A[++a]=-x;
		else B[++b]=x;
	}
	sort(A+1,A+a+1);
	sort(B+1,B+b+1);
	for(int i=1;i<=a;i++){
		f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+(A[i]-A[i-1])*(n-(i-1));
		f[i][0][1]=f[i][0][0]+A[i]*(n-(i-1));
	}
	for(int i=1;i<=b;i++){
		f[0][i][1]=f[0][i-1][1]+(B[i]-B[i-1])*(n-(i-1));
		f[0][i][0]=f[0][i][1]+B[i]*(n-(i-1));
	}
	for(int i=1;i<=a;i++){
		for(int j=1;j<=b;j++){
			f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+(A[i]-A[i-1])*(n-(i-1)-j),f[i-1][j][1]+(B[j]+A[i])*(n-(i-1)-j));
			f[i][j][1]=min(f[i][j-1][1]+(B[j]-B[j-1])*(n-i-(j-1)),f[i][j-1][0]+(A[i]+B[j])*(n-i-(j-1))); 
		}
	}
	printf("%d",min(f[a][b][0],f[a][b][1]));
}