最大连续子数组和与最大连续子矩阵和

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这两个问题是编程中常见的问题，而且网上有大量博客论述，这里主要是自己做一个笔记。两个之间是有关系的，所以这次放在一起复习

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1. 最大连续子数组

先看第一个问题：

给定一个整数数组，数组里面可能有正数，负数、零。数组中的一个或多个连续数组构成一个子数组，每个子数组都有一个和，求所有子数组和的最大值。

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例子：数组a[]={1,-2,3,10,-4,7,2,5}.那么和最大的子数组为{3,10，-4,7,2}，所以结果输出18.

求解：

思路一：暴力法
找出数组的所有子数组，然后求组所有子数组中和最大的，其中确定一个子数组需要起始位置和终止位置，所以这一步的复杂度是$O(n^2)$,但是还要讲数组中的元素加起来，所以最后的复杂度是$O(n^3)$.
思路二：动态规划方法
假设给你一个数组$A[n]=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$,然后我告诉你前$n-1个数构成的数组的子数组最大和为s_{n-1},$
然后告诉你$a_n$的大小，你能否告诉我A的最大连续子数组和？答案是不行的，即使最后一个数是正数，我们也不能认为最大和为$S_{n-1}+a_n$,因为我们不知道前n-1个数的最大子数组包不包括$a_{n-1}$,如果包括那么可以相加，如果不包括无法相加。举个例子
$A[]=\{1,2,3,-10,20\}$前四个数的最大子数组是${1,2,3}$,所以和为6，虽然20是正数我们不能直接加上去，因为-10不在里面，加上20可能不连续。其实A的最大子数组就是${20}$，所以需要一个条件：以$a_{n-1}$结束的最大连续子数组的和,假设这个和为$C_{n-1}$，那么知道$a_n$,就可以知道：

$$C_n=max\{0,C_{n-1}\}+a_n$$
那么最大子数组的和就是：
$$S_n=max\{C_n,S_{n-1}\}$$ ,这里 $S_{n-1}代表前n-1个数构成的最大子数组和。$
还是上面的例子， $C_4=1+2+3-10=-4,$
$S_4=1+2+3=6,$
$C_5=\max\{0,-4\}+a_5=20,$
$s_5=\max\{C_5,S_4\}=20$,

所以程序中需要两个变量，一个是以$a_i$结尾的最大连续子数组的和currSum（i），一个是去全局最大子数组的和maxSum。初始化均可设置为0，currSum的更新规则为：

$$currSum(i+1)=max(0,surrSum(i)+a_{i+1})$$
函数代码如下：

int maxSubArray(int a[],int n)
{
    int maxSum=0;
    int currSum=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(currSum>=0)
            currSum+=a[i];//更新currSum
        else
            currSum=a[i];
        if(currSum>maxSum)
            maxSum=currSum;//更新maxSum
    }
    return maxSum;
}

整个过程中currSum和maxSum更新如下：

$$currSum: 0\rightarrow1\rightarrow-1\rightarrow3\rightarrow13\rightarrow9\rightarrow16\rightarrow18\rightarrow13$$
$$maxSum:0\rightarrow1\rightarrow1\rightarrow3\rightarrow13\rightarrow13\rightarrow16\rightarrow18\rightarrow18$$

拓展

1. 如果要求求出最大连续子数组的和，并且同属输出所求子数组的开始位置和起始位置？
   分析：这个问题还是比较好解决的，只要清楚什么最大子数组开始的条件和结束的条件就可以了，可以设置几个flag，其中开始点应该是currSum由负数变正数，且currSum大于maxSum的时候。而结束的时候应该是currSum大于maxSum且由正数变为正数。
2. 如果要求出最大子数组的和，但不要求子数组是连续的呢？
   分析：这个好办，大于0的数相加即可。
3. 如果是二维数组，同样要求求出最大连续子数组的和呢？

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针对第三个问题，引申出下面第二个问题：

给定一个$M\times N$的矩阵，找出此矩阵的一个子矩阵，要求满足这个子矩阵的元素和是最大的，输出这个最大值，如果所有数是负数，就输出0.

例如：给定一个$3\times 5$的矩阵：

$$\left[ \begin{matrix} 1& 2& 0& 3& 4\\2 & 3& 4& 5& 1\\ 1& 1& 5& 3& 0\end{matrix} \right]$$
它的和最大子矩阵是：
$$\left[ \begin{matrix} 4& 5\\ 5& 3\end{matrix} \right]$$
最后输出和的最大值为17.
当然这里要求的是一个方阵，还有一种更一般的是矩阵中有正有负，对于子矩阵的大小也没有要求：
$$\left[ \begin{matrix} 0& 2& -7& 0\\9 & 2& -6& 2\\ -4& 1& -4& 1\\1& 8& 0& -2\end{matrix} \right]$$
那么最大子矩阵是：
$$\left[ \begin{matrix} 9& 2\\-4 & 1\\ 1& 8\end{matrix} \right]$$

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那么如何求解这个问题呢？
如果采用暴力法——遍历所有子矩阵，那么需要找出所以子矩阵，确定子矩阵需要四个参数，左上角两个，右下角两个所以有$O(n^4)$的复杂度，再加上对每个矩阵求和为$O(n^2)$的复杂度，所以暴力法的复杂度约为$O(n^6)$.
我们在前面已经说到过，最大连续子数组和最大连续子矩阵的和这个问题是有相关性的。当我们确定矩阵的哪几行时，我们如何确定哪几列呢？，例如当我们要选取2,3,4行时，我们需要决定选取那几列的时候，我们只要将这个三行相加，得到一个一维数组，那么就可以用上一个问题的方法去解决了。
所以思路就是：我们遍历所有的行的组成情况，然后将选出来的行按列相加，构成一个一位数组的最大连续子数组问题。

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int maxSubMatrix(int a[],int m,int n)
//二维数组以一位数组的形式存放，m和n分别代表矩阵的行和列
{
    int max=0;
    int sum=-10000;  //选择一个足够小的数
    int* p=new int[n];   //开辟一个用于存放和的一位数组
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        memset(p,0,sizeof(int)*n);  //赋初值为0
        for(int j=i;j<m;j++)
        {
            for(int k=0;k<n;k++)
            {
                p[k]+=a[j*n+k];  //累加求和
            }
            max=maxSubArray(p,n);  //调用一维数组的方法
            if(max>sum)
                sum=max;
        }
    }
    delete [] p;
    return sum;
}

测试：

int main（）
{
        int s[]={0,-2,-7,1,9,2,-6,2,-4,1,-4,1,-1,8,0,-2};
        cout<<maxSubMatrix(s,4,4)<<endl;
        return 0;
}

结果是：15

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延伸问题：长度最短连续子序列问题

有一个长度为$n$的正整数序列，现给定一个整数S，要求求出序列中长度最短的一个连续序列，且序列的和大于等于S。

分析：可以直接用两个for循环枚举所有子序列的起点和终点，但这种方法的时间复杂度为$O(n^3)$,需要找到更好的办法。
其实，因为都是正数，所以当从第一个数开始累加，累加到大于S的时候，开始删掉前面的数，直到小于S，然后把后面的数加进来，这样遍历一遍就能解决掉。

int LessSeq(const int a[],int N,int s)
{
    int start,end,sum;
    start=end=sum=0;
    int L=N+1;
    while(end<N)
    {
        if(sum<s)
            sum+=a[end];
        while(sum>=s)
        {
            sum-=a[start];
            L=min(L,end-start+1);
            start++;
        }
        end++;
    }
    return L;
}