[HNOI 2009] 有趣的数列

[题目链接]

         https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1485

[算法]

        我们不妨从1-2N依次选取奇数项

        考虑到P2n-1 < P2n , 显然 ， 当1至i中 ， 不选的数 > 选了的数 ， 不合法

        那么 ， 当一个序列满足 ： 1-i中 ， 不选的数 > 选了的数 ， 则这个序列是“有趣”的

        可以把该问题转化为一个经典模型 ： 满足前i位0的个数 <= 1的个数的长度为2N的二进制数有多少个 ， 答案为卡特兰数的第n项

        卡特兰数的通项公式 ： Cn = C(2n , n) - C(2n , n - 1)

        由于答案对P取模 ， 而P不是质数 ， 逆元可能不存在 ， 我们需要在求组合数时求出每个质因子在阶乘中出现了多少次 ， 然后快速幂计算答案即可

        时间复杂度 ： O(NlogN)

[代码]

         

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000010
#define MAXP 2000010

int n , P , tot;
int f[MAXP] , prime[MAXP] , a[MAXP] , b[MAXP] , loc[MAXP];

template <typename T> inline void chkmax(T &x,T y) { x = max(x,y); }
template <typename T> inline void chkmin(T &x,T y) { x = min(x,y); }
template <typename T> inline void read(T &x)
{
    T f = 1; x = 0;
    char c = getchar();
    for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
    for (; isdigit(c); c = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0';
    x *= f;
}

inline int exp_mod(int a , int n)
{
        int res = 1 , b = a;
        while (n > 0)
        {
                if (n & 1) res = 1LL * res * b % P;
                b = 1LL * b * b % P;
                n >>= 1;
        }
        return res;
}
inline int C(int x , int y)
{
        for (int i = 1; i <= tot; i++) a[i] = 0;
        for (int k = 1; k <= x; k++)
        {
                int tmp = k;
                for (int i = 1; i <= tot && 1LL * prime[i] * prime[i] <= k; i++)
                {
                        if (tmp % prime[i] == 0)
                        {
                                while (tmp % prime[i] == 0) 
                                {
                                        tmp /= prime[i];
                                        ++a[i];        
                                }
                        }        
                        if (tmp == 1 || loc[tmp]) break;
                }
                if (tmp > 1)
                {
                        int pos = loc[tmp];
                        ++a[pos];
                }
        }
        for (int k = 1; k <= y; k++)
        {
                int tmp = k;
                for (int i = 1; i <= tot && 1LL * prime[i] * prime[i] <= k; i++)
                {
                        if (tmp % prime[i] == 0)
                        {
                                while (tmp % prime[i] == 0) 
                                {
                                        tmp /= prime[i];
                                        --a[i];        
                                }
                        }        
                        if (tmp == 1 || loc[tmp]) break;
                }
                if (tmp > 1)
                {
                        int pos = loc[tmp];
                        --a[pos];
                }
        }
        for (int k = 1; k <= x - y; k++)
        {
                int tmp = k;
                for (int i = 1; i <= tot && 1LL * prime[i] * prime[i] <= k; i++)
                {
                        if (tmp % prime[i] == 0)
                        {
                                while (tmp % prime[i] == 0) 
                                {
                                        tmp /= prime[i];
                                        --a[i];        
                                }
                        }        
                        if (tmp == 1 || loc[tmp]) break;
                }
                if (tmp > 1)
                {
                        int pos = loc[tmp];
                        --a[pos];
                }
        }
        int ans = 1;
        for (int i = 1; i <= tot; i++) ans = 1LL * ans * exp_mod(prime[i] , a[i]) % P;
        return ans;
}

int main()
{
        
        read(n); read(P);
        for (int i = 2; i < MAXP; i++)
        {
                if (!f[i])
                {
                        f[i] = i;
                        prime[++tot] = i;
                        loc[i] = tot;
                }
                for (int j = 1; j <= tot; j++)
                {
                        int tmp = i * prime[j];
                        if (tmp >= MAXP) break;
                        f[tmp] = prime[j];
                        if (prime[j] == f[i]) break;
                }
        }
        printf("%d\n" , (C(2 * n , n) - C(2 * n , n - 1) + P) % P);
        
        return 0;
    
}