设有两空间线段
-
Ls，其起点、终点坐标为s0、s1，方向向量u⃗ =s1−s0
-
Lt，其起点、终点坐标为t0、t1，方向向量v⃗ =t1−t0
记两线段对应的直线为ls、lt，采用向量表示法如下：
ls=s0+cs⋅u⃗
lt=t0+ct⋅v⃗
当0≤cs、ct≤1时，上述两式表达
设最短距离两点分别为sj、tj，则有
sj=s0+sc⋅u⃗
tj=t0+sc⋅v⃗
其中sc、tc为sj、tj两点所对应的标量。
记向量w⃗ =sj−tj，记向量w⃗ 0=s0−t0，根据下图可以得出：
w⃗ =s0+sc⋅u⃗ −(t0+tc⋅v⃗ )
即：
w⃗ =w⃗ 0+sc⋅u⃗ −tc⋅v⃗ (公式1)
如果s、t两条直线不平行、重合，则存在唯一的两点sc、tc使线段sctc−→−为ls、lt最近两点的连线。同时，线段sctc−→−也是唯一与两条直线同时垂直的线段。转换为向量表达即为：
u⃗ ⋅w⃗ =0v⃗ ⋅w⃗ =0
将公式1代入上述两式可得
（u⃗ ⋅u⃗ ）sc−（u⃗ ⋅v⃗ ）tc=−u⃗ ⋅w⃗ 0(公式2)
（v⃗ ⋅u⃗ ）sc−（v⃗ ⋅v⃗ ）tc=−v⃗ ⋅w⃗ 0(公式3)
记a=u⃗ ⋅u⃗ ，b=u⃗ ⋅v⃗ ，c=v⃗ ⋅v⃗ ，d=u⃗ ⋅w⃗ 0，e=v⃗ ⋅w⃗ 0，代入上述方程则可得：
sc=be−cdac−b2(公式4)
tc=ae−bdac−b2(公式5)
注意到上式中分母：
ac−b2=u⃗ ⋅u⃗ ×v⃗ ⋅v⃗ −（u⃗ ⋅v⃗ ）2
⇒ac−b2=|u⃗ |2⋅|v⃗ |2−(|u⃗ |⋅|v⃗ |⋅cosq)2=(|u⃗ |⋅|v⃗ |⋅sinq)2≥0
当ac−b2=0时，公式2和公式3相互独立，则两直线平行，直线间的距离为一常数，我们可以在任意一条直线上指定一固定点，然后代入公式求距离。我们可以指定sc=0然后可以求得tc=db=ec。
当求出sc、tc我们即可求得sj、tj两点，则两点之间的距离可按下式求解：
d(ls,lt)=|sj−tj|=|s0−t0+(be−cd)u⃗ −(ae−bd)v⃗ ac−b2|
相关代码：
public class LineALineComputeIn3D {
double PonA_x;//两直线最近点之A线上的点的x坐标
double PonA_y;//两直线最近点之A线上的点的y坐标
double PonA_z;//两直线最近点之A线上的点的z坐标
double PonB_x;//两直线最近点之B线上的点的x坐标
double PonB_y;//两直线最近点之B线上的点的y坐标
double PonB_z;//两直线最近点之B线上的点的z坐标
double distance;//两直线距离
//直线A的第一个点
double a1_x ;
double a1_y ;
double a1_z ;
//直线A的第二个点
double a2_x ;
double a2_y ;
double a2_z ;
//直线B的第一个点
double b1_x;
double b1_y ;
double b1_z ;
//直线B的第二个点
double b2_x;
double b2_y ;
double b2_z ;
boolean bIsCompute=false;
//输入直线A的两个点，以便获得A的方程
public void SetLineA(double A1x, double A1y, double A1z, double A2x, double A2y, double A2z)
{
a1_x = A1x;
a1_y = A1y;
a1_z = A1z;
a2_x = A2x;
a2_y = A2y;
a2_z = A2z;
bIsCompute=false;
}
//输入直线B的两个点，以便获得B的方程
public void SetLineB(double B1x, double B1y, double B1z, double B2x, double B2y, double B2z)
{
b1_x = B1x;
b1_y = B1y;
b1_z = B1z;
b2_x = B2x;
b2_y = B2y;
b2_z = B2z;
bIsCompute=false;
}
//获取A线上最近点
public double[] GetThePointInLineA()
{
double[] value=new double[3];
if(!bIsCompute){
StartCompute();
}
value[0]=PonA_x;
value[1]=PonA_y;
value[2]=PonA_z;
return value;
}
//获取A线上最近点
public double[] GetThePointInLineB()
{
double[] value=new double[3];
if(!bIsCompute){
StartCompute();
}
value[0]=PonB_x;
value[1]=PonB_y;
value[2]=PonB_z;
return value;
}
//获取两空间直线的最近距离
public double GetTwoLineDistance(){
if(!bIsCompute){
StartCompute();
}
return distance;
}
//用SetLineA、SetLineB输入A、B方程后
//调用本函数解出结果
public void StartCompute()
{
//方法来自：http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/11820545
double d1_x = a2_x - a1_x;
double d1_y = a2_y - a1_y;
double d1_z = a2_z - a1_z;
double d2_x = b2_x - b1_x;
double d2_y = b2_y - b1_y;
double d2_z = b2_z - b1_z;
double e_x = b1_x - a1_x;
double e_y = b1_y - a1_y;
double e_z = b1_z - a1_z;
double cross_e_d2_x=0, cross_e_d2_y=0, cross_e_d2_z=0;
double[] d2= cross(e_x, e_y, e_z, d2_x, d2_y, d2_z);
cross_e_d2_x=d2[0];
cross_e_d2_y=d2[1];
cross_e_d2_z=d2[2];
double cross_e_d1_x, cross_e_d1_y, cross_e_d1_z;
double[] d1= cross(e_x, e_y, e_z, d1_x, d1_y, d1_z);
cross_e_d1_x=d1[0];
cross_e_d1_y=d1[1];
cross_e_d1_z=d1[2];
double cross_d1_d2_x, cross_d1_d2_y, cross_d1_d2_z;
double[] d1d2= cross(d1_x, d1_y, d1_z, d2_x, d2_y, d2_z);
cross_d1_d2_x=d1d2[0];
cross_d1_d2_y=d1d2[1];
cross_d1_d2_z=d1d2[2];
double t1=0, t2=0;
t1 = dot(cross_e_d2_x, cross_e_d2_y, cross_e_d2_z, cross_d1_d2_x, cross_d1_d2_y, cross_d1_d2_z);
t2 = dot(cross_e_d1_x, cross_e_d1_y, cross_e_d1_z, cross_d1_d2_x, cross_d1_d2_y, cross_d1_d2_z);
double dd = norm(cross_d1_d2_x, cross_d1_d2_y, cross_d1_d2_z);
t1 /= dd*dd;//复合赋值运算符,把左边的变量除于右边变量的值赋予右边的变量，例如：a/=b等价于a=a/b
t2 /= dd*dd;
//得到最近的位置
PonA_x = (a1_x + (a2_x - a1_x)*t1);
PonA_y = (a1_y + (a2_y - a1_y)*t1);
PonA_z = (a1_z + (a2_z - a1_z)*t1);
PonB_x = (b1_x + (b2_x - b1_x)*t2);
PonB_y = (b1_y + (b2_y - b1_y)*t2);
PonB_z = (b1_z + (b2_z - b1_z)*t2);
distance = norm(PonB_x - PonA_x, PonB_y - PonA_y, PonB_z - PonA_z);
}
//点乘
double dot(double ax, double ay, double az, double bx, double by, double bz) {
return ax*bx + ay*by + az*bz;
}
//向量叉乘得到法向量
double[] cross(double ax, double ay, double az, double bx, double by, double bz)
{
double[] value=new double[3];
double x = ay*bz - az*by;
double y = az*bx - ax*bz;
double z = ax*by - ay*bx;
value[0]=x;
value[1]=y;
value[2]=z;
return value;
}
//向量取模
double norm(double ax, double ay, double az) {
return Math.sqrt(dot(ax, ay, az, ax, ay, az));
}
}