【AtCoder】AGC010 Boxes

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题目

传送门

题目大意

给出 $N(N\leq 10^5)$个数围成一圈，每次你可以选择一个 $i(1\leq i\leq N)$，然后对于每个 $j(1\leq j\leq N)$，从第 $i+j$个数（循环计数）中减去 $j$（若其中的某个数会减成负数，你就不能选择这个 $i$），问最后是否可能使每个数都变成 $0$。

思路

原题的题意就是从一个数开始，顺时针方向第 $i$个数减去 $i$（相当于一个等差数列）。

首先，所有数之和 $sum$必须是 $1+2+...+N$即 $\dfrac{N(N+1)}{2}$的倍数。
然后，进行的操作数 $k=\dfrac{sum}{1+2+...+N}$。

假设选了数 $a_i$，那么除了 $a_i$和 $a_{i+1}$（都是循环计数），其他的每两个相邻的数之差都减小了 $1$。
例如： $6,9,12,10,8$，从 $6$开始完成依一次这样的操作：

于是，除了 $6$和 $9$，其他的两个数之差都减小了 $1$，由于减去的是一个等差数列，所以不难理解这一点。
再看 $a_i=6$和 $a_{i+1}=9$之差，增加了 $4$，于是直接猜测： $a_i$和 $a_{i+1}$的差会增加 $N-1$。
事实上就是这样的，可以很容易地推出来。

发现差值 $d$最多减少 $k$，所以先判断 $d-k>0$，若满足，任务不可能完成。
设进行了 $x$次“增加”的操作，则进行了 $(k-x)$次“减小”的操作，一定有： $d+x(N-1)-(k-x)=0$化简得： $k-d=xN$即 $k-d$必须是 $N$的倍数。

做完了，脑袋痛。

代码

#include<set>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 100000
int N;
int A[MAXN+5];

int main(){
    scanf("%d",&N);
    long long Sum=0;//注意long long
    for(int i=1;i<=N;i++){
        scanf("%d",&A[i]);
        Sum+=A[i];
    }
    long long All=1ll*N*(N+1)/2;
    if(Sum%All)
        return !puts("NO");
    int k=Sum/All;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        int d=A[i]-A[i-1==0?N:i-1];
        if(d-k>0||(k-d)%N!=0)
            return !puts("NO");
    }
    puts("YES");
}