【AtCoder】AGC009 Tournament

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题目

传送门

题目大意

现在需要通过 $(N-1)$场淘汰赛从 $N$个人中选出一个冠军（记为 $1$号），如图所示，由于每个人进行的比赛数可能不同，所以这个比赛是不太公平的。现在告诉你每个人个人最终分别被谁打败了（除了冠军 $1$号），你需要使整个比赛尽可能公平，即：使（理论上）打比赛最多的人打的比赛尽量少，简单来说，就是使你构造出的这个比赛的树深度尽量小，问它的深度。

（ $4$号要打 $3$场比赛， $1$号要打 $2$场比赛， $4,5$号理论上要打 $3$场比赛）
在这个图中， $4$号最终被 $2$号打败了， $3$号被 $1$号打败了。

思路

这是一道 $800$分的B题。

先给出样例二的构造方法（叶子节点为选手，非叶子节点为该比赛的胜出者），记这个叫最优解树：

链剖??
对于冠军 $1$号选手来说， $2,4,6$都要和他打一场，发现这三个人和 $1$号打比赛的顺序变了，比赛的“公平性”就会有所变化，例如：

$5$号：我这是造了什么孽啊= =

发现 $1$号要先跟子树高度小的（如 $6$）比赛，再跟子树高度大的（如 $2$）比赛，因为比赛时间越靠后，这颗子树就越靠近根。
这个性质是可以递归的，但是这个样例不好体现。假设在这个样例的基础上， $2$还要和 $8$号打一场，且 $2$号胜，那么 $2$号就要先和 $8$打，再和 $3$打，因为 $3$的子树高度为 $1$，而 $8$没有子树。

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怎么实现？
题目给出的实际上是一个有根树，如果我们把最优解树中每个点失败时的深度标在这个图上（样例二）：

俗话说得好，玩信竞怎么能没有找规律的能力。

于是就找到了规律：
这个树的形态只能是这样，改变儿子的顺序都行。
注意加粗的深度和高度，都是表示在最优解树中的深度和高度，其他的描述都是在给出的树种定义的，我们需要在给出的树中“想象”出这个最优解树。

• 若当前根节点的深度为 $d$，则它的第 $i$个儿子的深度为 $d+i$，儿子的顺序由这个子树的高度决定。
• 根据根节点 $1$的深度（深度）为 $1$，递归。

（其实证明很简单）

上面这段话可能不太好理解，最好是你按照自己找到的规律写递归。

代码

发现代码很短 （这道题其实是结论题）

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 100000
int N;
int Height[MAXN+5];
vector<int> G[MAXN+5];

bool cmp(int x,int y){
    return Height[x]>Height[y];
}
//深度从0开始比较方便
void dfs(int u){
    for(int i=0;i<int(G[u].size());i++)
        dfs(G[u][i]);//得到子树的高度
    sort(G[u].begin(),G[u].end(),cmp);//对儿子排序（注意上面的cmp）
    for(int i=0;i<int(G[u].size());i++)
        Height[u]=max(Height[u],Height[G[u][i]]+i+1);//更新自己这个子树的高度
}

int main(){
    scanf("%d",&N);
    for(int i=2;i<=N;i++){
        int fa;
        scanf("%d",&fa);
        G[fa].push_back(i);
    }
    dfs(1);
    printf("%d",Height[1]);
}