CF513C Maximum Subrectangle

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题目

传送门

题目大意

给出分别有 $N,M$个元素的序列 $a,b$，定义一个乘积矩阵，其中的元素 $c_{i,j}=a_i\times b_j$，找到它的一个最大面积子矩阵，使得这个子矩阵的元素之和不大于给定的 $X$。所有数都是正数， $N,M\leq 2000$。

思路

比赛的时候第一次 $15$分钟内切掉前 $2$题，剧烈膨胀，结果大脑抽筋死在第 $3$题。
设这个矩阵左上角为 $c_{i_1,j_1}$，右下角为 $c_{i_2,j_2}$，那么它的元素之和为： $\sum\limits_{i=i_1}^{i_2}\sum\limits_{j=j_1}^{j_2}a_i\times b_j$
化简一下得： $\sum\limits_{i=i_1}^{i_2}a_i\sum\limits_{j=j_1}^{j_2}b_j$
记录一下 $a,b$的前缀和记为 $sum_a,sum_b$，于是得到： $(sum_a[i_2]-sum_a[i_1-1])\times(sum_b[j_2]-sum_b[j_2-1])\leq X$
相当于是从 $a,b$中分别找一段元素之和乘起来不大于 $X$。

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以上内容是比赛时想到的。
然后先想了个 $O(logNlogM·NM)$，写着写着发现是错的。
然后想了个用set乱搞 $O((logN+logM)NM)$的，交上去只过了样例，WA了三次后发现思路还是错的。

我直到比赛结束都觉得是个二分搜索。
于是我颓废了。

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接下来是正解。
可以用 $O(N^2)$和 $O(M^2)$时间处理出 $a,b$中长度为len的一段区间的最小元素和 $S_a[len],S_b[len]$。

然后再用 $O(NM)$枚举从 $a$中选长度为 $i$， $b$中选长度为 $j$的一段，它们乘积之和最小为 $S_a[i]\times S_b[j]$，如果这个值不大于 $X$，说明可以，就更新答案。

我突然觉得自己不够贪心啊= =

代码

早上起来赶的，写得丑不要介意。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 2000
#define LL long long
int N[2],X,Ans;
LL Sum[2][MAXN+5],MinSum[3][MAXN+5];

int main(){
    scanf("%d%d",&N[0],&N[1]);
    for(int i=0;i<=1;i++)
        for(int j=1;j<=N[i];j++){
            int t;scanf("%d",&t);
            Sum[i][j]=Sum[i][j-1]+t;
        }
    scanf("%d",&X);
    memset(MinSum,0x7f,sizeof MinSum);
    for(int i=0;i<=1;i++)
        for(int len=1;len<=N[i];len++)
            for(int j=len;j<=N[i];j++)
                MinSum[i][len]=min(MinSum[i][len],Sum[i][j]-Sum[i][j-len]);
    for(int i=1;i<=N[0];i++)
        for(int j=1;j<=N[1];j++)
            if(MinSum[0][i]*MinSum[1][j]<=X)
                Ans=max(Ans,i*j);
    printf("%d",Ans);
}