LINTCODE：172 阶乘后的零（Python语言实现）

1. 题目描述

给定一个整数n，返回n!结果尾数中零的数量。

说明：

你算法的时间复杂度应为O(log n)

示例1：

输入：3

输出：0

解释：3! = 6，尾数中没有零。

示例2：

输入：5

输出：1

解释：5! = 120，尾数中有1个零。

2. 朴素法求解

顾名思义，可以先求出阶乘，再利用对10的求余来作为次数累加的循环条件。但是时间复杂度不符合要求，经测试，为“时间超时”。

class Solution(object):
    def trailingZeroes(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        fact = 1
        for i in range(2, n+1):
            fact *= i
        rcnt = 0
        while fact%10 == 0:
            rcnt += 1
            fact //= 10
        return rcnt

3. 进一步优化

要使得尾数为0，其中必然会有5的倍数的存在。每逢一个5的出现，前面就会有偶数的存在，所以不需要考虑偶数的因素。数字递增的过程中会发现，凡5的累积倍数均生成数个0，比如25，可以拆分成两个5。这里，直接对n逢五递增，并对每一个5的倍数进行拆分，而且累加次数。经测试，显示“内存不足”。

class Solution(object):
    def trailingZeroes(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        rcnt = 0
        for i in range(5, n+1, 5):
            cur = i
            while cur%5 == 0:
                rcnt += 1
                cur //= 5
        return rcnt

原因在于，range所产生的列表，在遇到百万级的数字时会超出其限制大小。所以考虑将for循环改写成while循环避免这种情况。经测试，显示“时间超时”。

class Solution(object):
    def trailingZeroes(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        rcnt = 0
        while n >= 5:
            cur = 5 * (n/5)
            while cur%5 == 0:
                rcnt += 1
                cur //= 5
            n -= 5
        return rcnt

4. 分析规律

要在不大于n的范围内寻找5的简单倍数以及5的累计倍数次数，可以分解成两个部分。第一部分，5的简单倍数，可以直接整除5就可以得到；第二部分，5的累计倍数次数，可采用前面的除值的结果除以5，依次递归下去，直到为0。比如：75除以5得15，即存在15个5的简单倍数，再利用15除以5得3，即3个5的累计倍数次数为2的值，分别是25、50、75。经测试，显示“通过”。

class Solution(object):
    def trailingZeroes(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        rcnt = 0
        while n > 0:
            n //= 5
            rcnt += n
        return rcnt

其递归格式为：

class Solution(object):
    def trailingZeroes(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        if n == 0:
            return 0
        else:
            return (n//5) + self.trailingZeroes(n//5)