数论 Count QBXT Test Ⅰ T1

版权声明：未经本蒟蒻同意，请勿转载本蒻博客 https://blog.csdn.net/wddwjlss/article/details/83342435

题意：问有几个无序二元组 $(x, y)$ 满足 $xy ≡ 1$ $(mod \ \ P )$， $0 ≤ x < P; 0 ≤ y <P$。无序二元组是指，如果 $P = 10$， $(3,7)$ 和 $(7,3)$ 只算一次。

首先我们将式子化成方程形式： $xy-kP=1$，其中 $P$为已知常数，我们将 $x$也看做一个常数，我们发现解的情况就是 $gcd(P,x)=1$，也就是小于 $P$并且与 $P$互质的数的个数，即 $\phi(P)$。如果 $xy ≡ 1 (mod \ \ P)$，那么 $(x,y) 和 (y,x)$一定会各出现一次，也就是被多算了一次，而这个东西的值即为 $\phi(P)$，但是其中 $x=y$的情况只有一次。设满足 $x^2 ≡ 1 (mod \ \ P)$ 的 $x$有 $num$个，答案即为 $\frac{num+\phi(P)}{2}$。注意当 $P=1$时答案为 $1$，因为 $0*0=1\ mod\ 1$。 $\phi(n) = \prod {p_i}^{c_{i}-1}(p_i-1)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int p,ans,num;
int phi(int n)
{ 
    int ans=n,a=n;
    for(int i=2;i*i<=a;i++)
	{
        if(a%i==0)
		{
       		ans=ans/i*(i-1);
            while(a%i==0) 
		 		a/=i;	
        }
    }
    if(a>1) 
		ans=ans/a*(a-1);
    return ans;
}
int main()
{
	cin>>p;
	for(int i=1;i<p;++i)
		if((1ll*i*i)%p==1)
			num++;
	if(p==1)
	{
		cout<<"1";
		return 0;
	}	
	cout<<(phi(p)+num)/2;
	return 0;
}