动态查找树主要有：二叉查找树（Binary Search Tree），平衡二叉查找树（Balanced Binary Search Tree），红黑树(Red-Black Tree )，B-tree/B+-tree/ B*-tree (B~Tree)。前三者是典型的二叉查找树结构，其查找的时间复杂度O(log2N)与树的深度相关，那么降低树的深度自然会提高查找效率。
上一篇中我们了解了多叉树中的2-3-4树及红黑树，接下来要介绍的B树。
一、B树
问题的提出：
大规模数据存储中，实现索引查询这样一个实际背景下，树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量非常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁，进而导致查询效率低下（为什么会出现这种情况，待会在外部存储器-磁盘中有所解释），那么如何减少树的深度（当然是不能减少查询的数据量），一个基本的想法就是：采用多叉树结构（由于树节点元素数量是有限的，自然该节点的子树数量也就是有限的）。
也就是说，因为磁盘的操作费时费资源，如果过于频繁的多次查找势必效率低下。那么如何提高效率，即如何避免磁盘过于频繁的多次查找呢？根据磁盘查找存取的次数往往由树的高度所决定，所以，只要我们通过某种较好的树结构减少树的结构尽量减少树的高度。
1.1、B树定义：
B树（B-tree）是有Bayer和McCreight在1972年提出的数据结构。（他们也同时提出了数据库的索引，1972）
B树索引是数据库中存取和查找文件(称为记录或键值)的一种方法，应用于磁盘读取方面
1.2、B树特性：
每个节点最多拥有m个子节点且m>=2,空树除外（注：m阶代表一个树节点最多有多少个查找路径，m阶=m路,当m=2则是2叉树,m=3则是3叉）
除根节点外每个节点的关键字数量大于等于ceil(m/2)-1个小于等于m-1个;（注：ceil()是个朝正无穷方向取整的函数 如ceil(1.1)结果为2)
所有叶子节点均在同一层、叶子节点除了包含了关键字和关键字记录的指针外也有指向其子节点的指针只不过其指针地址都为null对应下图最后一层节点的空格子
如果一个非叶节点有N个子节点，则该节点的关键字数等于N-1;
所有节点关键字是按递增次序排列，并遵循左小右大原则；
1.3、B树主要应用：
B树（B-tree）是一种树状数据结构，它能够存储数据、对其进行排序并允许以O(log n)的时间复杂度运行进行查找、顺序读取、插入和删除的数据结构。B树，概括来说是一个节点可以拥有多于2个子节点的二叉查找树。与自平衡二叉查找树不同，B-树为系统最优化大块数据的读和写操作。B-tree算法减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。普遍运用在数据库和文件系统。B 树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种多叉平衡查找树。与红黑树很相似，但在降低磁盘I/0操作方面要更好一些。
B树和平衡二叉树稍有不同的是B树是一种可实现的平衡多路查找树。数据库索引技术里大量使用者B树和B+树的数据结构，MySQL和Berkeley DB都是基于B树原理而建立数据库的。
平衡m叉查找树是指每个关键字的左侧子树与右侧子树的高度差的绝对值不超过1的查找树，其结点结构与上面提到的B-树结点结构相同，由此可见，B-树是平衡m叉查找树，但限制更强，要求所有叶结点都在同一层。
B树与红黑树最大的不同在于，B树的结点可以有许多子女，从几个到几千个。那为什么又说B树与红黑树很相似呢?因为与红黑树一样，一棵含n个结点的B树的高度也为O（lgn），但可能比一棵红黑树的高度小许多，应为它的分支因子比较大。所以，B树可以在O（logn）时间内，实现各种如插入（insert），删除（delete）等动态集合操作。
1.4、B-树的查找操作
B-树的查找很简单，是二叉排序树的扩展，二叉排序树是二路查找，B-树是多路查找，因为B-树结点内的关键字是有序的，在结点内进行查找时除了顺序查找外，还可以用折半查找来提升效率。B-树的具体查找步骤如下（假设查找的关键字为key）：
1）先让key与根结点中的关键字比较，如果key等于k[i]（k[]为结点内的关键字数组），则查找成功
2）若key<k[1]，则到p[0]所指示的子树中进行继续查找（p[]为结点内的指针数组），这里要注意B-树中每个结点的内部结构。
3）若key>k[n]，则道p[n]所指示的子树中继续查找。
4）若k[i]<key<k[i+1]，则沿着指针p[I]所指示的子树继续查找。
5）如果最后遇到空指针，则证明查找不成功。
拿上面的二叉树进行举例，比如我们想要查找关键字42，下图加粗的部分显示了查找的路径：
1.5、B-树的插入
与二叉排序树一样，B-树的创建过程也是将关键字逐个插入到树中的过程。
在进行插入之前，要确定一下每个结点中关键字个数的范围，如果B-树的阶数为m，则结点中关键字个数的范围为ceil(m/2)-1 ~ m-1个。
对于关键字的插入，需要找到插入位置。在B-树的查找过程中，当遇到空指针时，则证明查找不成功，同时也找到了插入位置，即根据空指针可以确定在最底层非叶结点中的插入位置，为了方便，我们称最底层的非叶结点为终端结点，由此可见，B-树结点的插入总是落在终端结点上。在插入过程中有可能破坏B-树的特征，如新关键字的插入使得结点中关键字的个数超过规定个数，这是要进行结点的拆分。
接下来，我们以关键字序列{1,2,6,7,11,4,8,13,10,5,17,9,16,20,3,12,14,18,19,15}创建一棵5阶B-树，我们将详细体会B-树的插入过程。
（1）确定结点中关键字个数范围
由于题目要求建立5阶B-树，因此关键字的个数范围为2～4
（2）根结点最多可以容纳4个关键字，依次插入关键字1、2、6、7后的B-树如下图所示：
（3）当插入关键字11的时候，发现此时结点中关键字的个数变为5，超出范围，需要拆分，去关键字数组中的中间位置，也就是k[3]=6，作为一个独立的结点，即新的根结点，将关键字6左、右关键字分别做成两个结点，作为新根结点的两个分支，此时树如下图所示：
（4）新关键字总是插在叶子结点上，插入关键字4、8、13之后树为：
（5）关键字10需要插入在关键字8和11之间，此时又会出现关键字个数超出范围的情况，因此需要拆分。拆分时需要将关键字10纳入根结点中，并将10左右的关键字做成两个新的结点连在根结点上。插入关键字10并经过拆分操作后的B-树如下图：
（6）插入关键字5、17、9、16之后的B-树如图所示：
（7）关键字20插入在关键字17以后，此时会造成结点关键字个数超出范围，需要拆分，方法同上，树为：
（8）按照上述步骤依次插入关键字3、12、14、18、19之后B-树如下图所示：
（9）插入最后一个关键字15，15应该插入在14之后，此时会出现关键字个数超出范围的情况，则需要进行拆分，将13并入根结点，13并入根结点之后，又使得根结点的关键字个数超出范围，需要再次进行拆分，将10作为新的根结点，并将10左、右关键字做成两个新结点连接到新根结点的指针上，这种插入一个关键字之后出现多次拆分的情况称为连锁反应，最终形成的B-树如下图所示：
1.6、B-树的删除
对于B-树关键字的删除，需要找到待删除的关键字，在结点中删除关键字的过程也有可能破坏B-树的特性，如旧关键字的删除可能使得结点中关键字的个数少于规定个数，这是可能需要向其兄弟结点借关键字或者和其孩子结点进行关键字的交换，也可能需要进行结点的合并，其中，和当前结点的孩子进行关键字交换的操作可以保证删除操作总是发生在终端结点上。
我们用刚刚生成的B-树作为例子，一次删除8、16、15、4这4个关键字。
（1）删除关键字8、16。关键字8在终端结点上，并且删除后其所在结点中关键字的个数不会少于2，因此可以直接删除。关键字16不在终端结点上，但是可以用17来覆盖16，然后将原来的17删除掉，这就是上面提到的和孩子结点进行关键字交换的操作。这里不能用15和16进行关键字交换，因为这样会导致15所在结点中关键字的个数小于2。因此，删除8和16之后B-树如下图所示：
（2）删除关键字15，15虽然也在终端结点上，但是不能直接删除，因为删除后当前结点中关键字的个数小于2。这是需要向其兄弟结点借关键字，显然应该向其右兄弟来借关键字，因为左兄弟的关键字个数已经是下限2.借关键字不能直接将18移到15所在的结点上，因为这样会使得15所在的结点上出现比17大的关键字，所以正确的借法应该是先用17覆盖15，在用18覆盖原来的17，最后删除原来的18，删除关键字15后的B-树如下图所示：
（3）删除关键字4，4在终端结点上，但是此时4所在的结点的关键字个数已经到下限，需要借关键字，不过可以看到其左右兄弟结点已经没有多余的关键字可借。所以就需要进行关键字的合并。可以先将关键字4删除，然后将关键字5、6、7、9进行合并作为一个结点链接在关键字3右边的指针上，也可以将关键字1、2、3、5合并作为一个结点链接在关键字6左边的指针上，如下图所示：
显然上述两种情况下都不满足B-树的规定，即出现了非根的双分支结点，需要继续进行合并，合并后的B-树如下图所示：
有时候删除的结点不在终端结点上，我们首先需要将其转化到终端结点上，然后再按上面的各种情况进行删除。在讲述这种情况下的删除方法之前，要引入一个相邻关键字的概念，对于不在终端结点的关键字a，它的相邻关键字为其左子树中值最大的关键字或者其右子树中值最小的关键字。找a的相邻关键字的方法为：沿着a的左指针来到其子树根结点，然后沿着根结点中最右端的关键字的右指针往下走，用同样的方法一直走到叶结点上，叶结点上的最右端的关键字即为a的相邻关键字（这里找的是a左边的相邻关键字，我们可以用同样的思路找到a右边的相邻关键字）。可以看到下图中a的相邻关键字是d和e，要删除关键字a，可以用d来取代a，然后按照上面的情况删除叶子结点上的d即可。
1.7、文件查找的具体过程(涉及磁盘IO操作)
为了简单，这里用少量数据构造一棵3叉树的形式，实际应用中的B树结点中关键字很多的。上面的图中比如根结点，其中17表示一个磁盘文件的文件名；小红方块表示这个17文件内容在硬盘中的存储位置；p1表示指向17左子树的指针。
假如每个盘块可以正好存放一个B树的结点（正好存放2个文件名）。那么一个BTNODE结点就代表一个盘块，而子树指针就是存放另外一个盘块的地址。
下面，咱们来模拟下查找文件29的过程：
根据根结点指针找到文件目录的根磁盘块1，将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 1次】
此时内存中有两个文件名17、35和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：17<29<35，因此我们找到指针p2。
根据p2指针，我们定位到磁盘块3，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 2次】
此时内存中有两个文件名26，30和三个存储其他磁盘页面地址的数据。根据算法我们发现：26<29<30，因此我们找到指针p2。
根据p2指针，我们定位到磁盘块8，并将其中的信息导入内存。【磁盘IO操作 3次】
此时内存中有两个文件名28，29。根据算法我们查找到文件名29，并定位了该文件内存的磁盘地址。
分析上面的过程，发现需要3次磁盘IO操作和3次内存查找操作。关于内存中的文件名查找，由于是一个有序表结构，可以利用折半查找提高效率。至于IO操作是影响整个B树查找效率的决定因素。
当然，如果我们使用平衡二叉树的磁盘存储结构来进行查找，磁盘4次，最多5次，而且文件越多，B树比平衡二叉树所用的磁盘IO操作次数将越少，效率也越高。
1.8、B树的高度
根据上面的例子我们可以看出，对于辅存做IO读的次数取决于B树的高度。而B树的高度由什么决定的呢？
若B树某一非叶子节点包含N个关键字，则此非叶子节点含有N+1个孩子结点，而所有的叶子结点都在第i层，我们可以得出：
因为根至少有两个孩子，因此第2层至少有两个结点。
除根和叶子外，其它结点至少有┌m/2┐个孩子，
因此在第3层至少有2*┌m/2┐个结点，
在第4层至少有2*(┌m/2┐^2)个结点，
在第 I 层至少有2*(┌m/2┐^(l-2) )个结点，于是有： N+1 ≥ 2*┌m/2┐I-2；
考虑第L层的结点个数为N+1，那么2*(┌m/2┐^(l-2)）≤N+1，也就是L层的最少结点数刚好达到N+1个，即： I≤ log┌m/2┐((N+1)/2 )+2；
所以
当B树包含N个关键字时，B树的最大高度为i-1（因为计算B树高度时，叶结点所在层不计算在内），即：i - 1= log┌m/2┐((N+1)/2 )+1。
这个B树的高度公式从侧面显示了B树的查找效率是相当高的。
题目：一棵含有N个总关键字数的m阶的B树的最大高度是多少?
答曰：log_ceil（m/2）(N+1)/2 + 1
（上面中关于m阶B树的第1点特性已经提到：树中每个结点含有最多含有m个孩子，即m满足：ceil(m/2)<=m<=m。而树中每个结点含孩子数越少，树的高度则越大，故如此）。
1.9、B树与红黑树
不同：B树可以有很多的node（一般50-500），从而一个节点可以放下辅助存储器上一页或一整块的信息。
相同：一棵含有n节点的B树和红黑树的高度均为O(lgn).一般的，B树由于有多节点高度还是比红黑树要低一些。
二、B+树
2.1、B+树的定义
B+树是B树的一种变形，它更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引。
B+树只有叶子节点存储数据，非叶子节点均存储索引，不包含实际的值，所有的叶子结点和相连的节点使用链表相连，便于区间查找和遍历。
一棵m阶的B+树和m阶的B树的异同点在于：
1，非叶子节点的子树指针与关键字个数相同;（有k个子结点的结点必然有k个关键码；）
2，非叶子节点的子树指针p[i],指向关键字值属于[k[i],k[i+1]]的子树.(B树是开区间,也就是说B树不允许关键字重复,B+树允许重复)；（非叶结点仅具有索引作用，跟记录有关的信息均存放在叶结点中。）
3，为所有叶子节点增加一个链指针.
4，所有关键字都在叶子节点出现(稠密索引). (且链表中的关键字恰好是有序的);
5，非叶子节点相当于是叶子节点的索引(稀疏索引),叶子节点相当于是存储(关键字)数据的数据层.
6，更适合于文件系统;
7，树的所有叶结点构成一个有序链表，可以按照关键码排序的次序遍历全部记录。
比如，下图就是一个非常典型的B+树的例子。
2.2、为什么说B+-tree比B 树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据库索引？
1) B+-tree的磁盘读写代价更低
B+-tree的内部结点并没有指向关键字具体信息的指针。因此其内部结点相对B 树更小。如果把所有同一内部结点的关键字存放在同一盘块中，那么盘块所能容纳的关键字数量也越多。一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多。相对来说IO读写次数也就降低了。
举个例子，假设磁盘中的一个盘块容纳16bytes，而一个关键字2bytes，一个关键字具体信息指针2bytes。一棵9阶B-tree(一个结点最多8个关键字)的内部结点需要2个盘快。而B+ 树内部结点只需要1个盘快。当需要把内部结点读入内存中的时候，B 树就比B+ 树多一次盘块查找时间(在磁盘中就是盘片旋转的时间)。
2) B+-tree的查询效率更加稳定
由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。
数据库索引采用B+树的主要原因是 B树在提高了磁盘IO性能的同时并没有解决元素遍历的效率低下的问题。正是为了解决这个问题，B+树应运而生。B+树只要遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历。而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）。
2.3、 B+-tree的应用
VSAM(虚拟存储存取法)文件(来源论文 the ubiquitous Btree 作者：D COMER - 1979 )
B和B+树主要用在文件系统以及数据库做索引.比如
- Windows：HPFS文件系统
- Mac：HFS，HFS+文件系统
- Linux：ResiserFS，XFS，Ext3FS，JFS文件系统
- 数据库：ORACLE，MYSQL，SQLSERVER等中
2.4、B+树的优点
B+ 树的优点在于：
- 由于B+树在内部节点上不包含数据信息，因此在内存页中能够存放更多的key。 数据存放的更加紧密，具有更好的空间局部性。因此访问叶子节点上关联的数据也具有更好的缓存命中率。
- B+树的叶子结点都是相链的，因此对整棵树的便利只需要一次线性遍历叶子结点即可。而且由于数据顺序排列并且相连，所以便于区间查找和搜索。而B树则需要进行每一层的递归遍历。相邻的元素可能在内存中不相邻，所以缓存命中性没有B+树好。
但是B树也有优点，其优点在于，由于B树的每一个节点都包含key和value，因此经常访问的元素可能离根节点更近，因此访问也更迅速。下面是B 树和B+树的区别图：
分析
对B树和B+树的分析和对前面讲解的2-3树的分析类似，
对于一颗节点为N度为M的子树，查找和插入需要logM-1N ~ logM/2N次比较。这个很好证明，对于度为M的B树，每一个节点的子节点个数为M/2 到 M-1之间，所以树的高度在logM-1N至logM/2N之间。
这种效率是很高的，对于N=62*1000000000个节点，如果度为1024，则logM/2N <=4，即在620亿个元素中，如果这棵树的度为1024，则只需要小于4次即可定位到该节点，然后再采用二分查找即可找到要找的值。
三、B*树
B*-tree是B+-tree的变体，在B+树的基础上(所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针)，B*树中非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）。给出了一个简单实例，如下图所示：
B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针。
B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针。
所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；
四、B树家族总结
通过以上介绍，大致将B树，B+树，B*树总结如下：
B树：有序数组+平衡多叉树；
B+树：有序数组链表+平衡多叉树；
B*树：一棵丰满的B+树。
在大规模数据存储的文件系统中，B~tree系列数据结构，起着很重要的作用，对于存储不同的数据，节点相关的信息也是有所不同，这里根据自己的理解，画的一个查找以职工号为关键字，职工号为38的记录的简单示意图。(这里假设每个物理块容纳3个索引，磁盘的I/O操作的基本单位是块（block),磁盘访问很费时，采用B+树有效的减少了访问磁盘的次数。）
对于像MySQL，DB2，Oracle等数据库中的索引结构得有较深入的了解才行，建议去找一些B 树相关的开源代码研究。
“B+树还有一个最大的好处，方便扫库，B树必须用中序遍历的方法按序扫库，而B+树直接从叶子结点挨个扫一遍就完了，B+树支持range-query非常方便，而B树不支持。这是数据库选用B+树的最主要原因。
比如要查 5-10之间的，B+树一把到5这个标记，再一把到10，然后串起来就行了，B树就非常麻烦。B树的好处，就是成功查询特别有利，因为树的高度总体要比B+树矮。不成功的情况下，B树也比B+树稍稍占一点点便宜。
B树比如上面例子中查，17的话，一把就得到结果了，
有很多基于频率的搜索是选用B树，越频繁query的结点越往根上走，前提是需要对query做统计，而且要对key做一些变化。
另外B树也好B+树也好，根或者上面几层因为被反复query，所以这几块基本都在内存中，不会出现读磁盘IO，一般已启动的时候，就会主动换入内存。
mysql 底层存储是用B+树实现的，内存中B+树是没有优势的，但是一到磁盘，B+树的威力就出来了"。
五、R树
下图介绍了R树家族
B树或者B+树可以非常好的处理一维空间存储的问题。B树是一棵平衡树，它是把一维直线分为若干段线段，当我们查找满足某个要求的点的时候，只要去查找它所属的线段即可。依我看来，这种思想其实就是先找一个大的空间，再逐步缩小所要查找的空间，最终在一个自己设定的最小不可分空间内找出满足要求的解。一个典型的B树查找如下：
算法的提出：
1984年，加州大学伯克利分校的Guttman发表了一篇题为“R-trees: a dynamic index structure for spatial searching”的论文，向世人介绍了R树这种处理高维空间存储问题的数据结构。如果大家对R树非常有兴趣，我想最好还是参考一下原著。
为表示对这位牛人的尊重，给个引用先：
Guttman, A.; “R-trees: a dynamic index structure for spatial searching,” ACM, 1984, 14
R树在数据库等领域做出的功绩是非常显著的。它很好的解决了在高维空间搜索等问题。举个R树在现实领域中能够解决的例子：查找20英里以内所有的餐厅。如果没有R树你会怎么解决？一般情况下我们会把餐厅的坐标(x,y)分为两个字段存放在数据库中，一个字段记录经度，另一个字段记录纬度。这样的话我们就需要遍历所有的餐厅获取其位置信息，然后计算是否满足要求。如果一个地区有100家餐厅的话，我们就要进行100次位置计算操作了，如果应用到谷歌地图这种超大数据库中，这种方法便必定不可行了。
举个简单的例子：
SELECT stu_id FROM TRAN
WHERE 80 <= maths and maths <= 90
80 <= chem and chem <= 90
传统的方法需要先找出math成绩在[80,90]的学生，再从中找出chems成绩再[80,90]的学生。许多学生并不符合第二个条件，但却由于符合第一个条件二被选出，影响了查询效率。
R树就很好的解决了这种高维空间搜索问题。它把B树的思想很好的扩展到了多维空间，采用了B树分割空间的思想，并在添加、删除操作时采用合并、分解结点的方法，保证树的平衡性。因此，R树就是一棵用来存储高维数据的平衡树。大大提高了数据库查询效率。
将详细介绍R树的数据结构以及R树的操作。至于R树的扩展与R树的性能问题，可以查阅相关论文。
5.1、R树的数据结构
如上所述，R树是B树在高维空间（主要是二维）的扩展，是一棵平衡树。每个R树的叶子结点包含了多个指向不同数据的指针，这些数据可以是存放在硬盘中的，也可以是存在内存中。根据R树的这种数据结构，当我们需要进行一个高维空间查询时，我们只需要遍历少数几个叶子结点所包含的指针，查看这些指针指向的数据是否满足要求即可。这种方式使我们不必遍历所有数据即可获得答案，效率显著提高。下图1是R树的一个简单实例：
我们在上面说过，R树运用了空间分割的理念，这种理念是如何实现的呢？R树采用了一种称为MBR(Minimal Bounding Rectangle)的方法，在此我把它译作“最小边界矩形”。从叶子结点开始用矩形（rectangle）将空间框起来，结点越往上，框住的空间就越大，以此对空间进行分割。
R树中的R应该代表的是Rectangle（此处参考wikipedia上关于R树的介绍），而不是大多数国内教材中所说的Region（很多书把R树称为区域树，这是有误的）。我们就拿二维空间来举例。下图是Guttman论文中的一幅图：
我来详细解释一下这张图。先来看图（b）
首先我们假设所有数据都是二维空间下的点，图中仅仅标志了R8区域中的数据，也就是那个shape of data object。别把那一块不规则图形看成一个数据，我们把它看作是多个数据围成的一个区域。为了实现R树结构，我们用一个最小边界矩形恰好框住这个不规则区域，这样，我们就构造出了一个区域：R8。R8的特点很明显，就是正正好好框住所有在此区域中的数据。其他实线包围住的区域，如R9，R10，R12等都是同样的道理。这样一来，我们一共得到了12个最最基本的最小矩形。这些矩形都将被存储在子结点中。
下一步操作就是进行高一层次的处理。我们发现R8，R9，R10三个矩形距离最为靠近，因此就可以用一个更大的矩形R3恰好框住这3个矩形。
同样道理，R15，R16被R6恰好框住，R11，R12被R4恰好框住，等等。所有最基本的最小边界矩形被框入更大的矩形中之后，再次迭代，用更大的框去框住这些矩形。
我想大家都应该理解这个数据结构的特征了。用地图的例子来解释，就是所有的数据都是餐厅所对应的地点，先把相邻的餐厅划分到同一块区域，划分好所有餐厅之后，再把邻近的区域划分到更大的区域，划分完毕后再次进行更高层次的划分，直到划分到只剩下两个最大的区域为止。要查找的时候就方便了。
下面就可以把这些大大小小的矩形存入我们的R树中去了。根结点存放的是两个最大的矩形，这两个最大的矩形框住了所有的剩余的矩形，当然也就框住了所有的数据。下一层的结点存放了次大的矩形，这些矩形缩小了范围。每个叶子结点都是存放的最小的矩形，这些矩形中可能包含有n个数据。
在这里，读者先不要去纠结于如何划分数据到最小区域矩形，也不要纠结怎样用更大的矩形框住小矩形，这些都是下一节我们要讨论的。
讲完了基本的数据结构，我们来讲个实例，如何查询特定的数据。又以餐厅为例，假设我要查询广州市天河区天河城附近一公里的所有餐厅地址怎么办？
打开地图（也就是整个R树），先选择国内还是国外（也就是根结点）。
然后选择华南地区（对应第一层结点），选择广州市（对应第二层结点），
再选择天河区（对应第三层结点），
最后选择天河城所在的那个区域（对应叶子结点，存放有最小矩形），遍历所有在此区域内的结点，看是否满足我们的要求即可。
5.2、一棵R树满足如下的性质：
1. 除非它是根结点之外，所有叶子结点包含有m至M个记录索引（条目）。作为根结点的叶子结点所具有的记录个数可以少于m。通常，m=M/2。
2. 对于所有在叶子中存储的记录（条目），I是最小的可以在空间中完全覆盖这些记录所代表的点的矩形（注意：此处所说的“矩形”是可以扩展到高维空间的）。
3. 每一个非叶子结点拥有m至M个孩子结点，除非它是根结点。
4. 对于在非叶子结点上的每一个条目，i是最小的可以在空间上完全覆盖这些条目所代表的店的矩形（同性质2）。
5. 所有叶子结点都位于同一层，因此R树为平衡树。
叶子结点的结构
先来探究一下叶子结点的结构。叶子结点所保存的数据形式为：(I, tuple-identifier)。
其中，tuple-identifier表示的是一个存放于数据库中的tuple，也就是一条记录，它是n维的。I是一个n维空间的矩形，并可以恰好框住这个叶子结点中所有记录代表的n维空间中的点。I=(I0,I1,…,In-1)。其结构如下图所示：
下图描述的就是在二维空间中的叶子结点所要存储的信息。
在这张图中，I所代表的就是图中的矩形，其范围是a<=I0<=b，c<=I1<=d。有两个tuple-identifier，在图中即表示为那两个点。这种形式完全可以推广到高维空间。大家简单想想三维空间中的样子就可以了。这样，叶子结点的结构就介绍完了。
非叶子结点
非叶子结点的结构其实与叶子结点非常类似。想象一下B树就知道了，B树的叶子结点存放的是真实存在的数据，而非叶子结点存放的是这些数据的“边界”，或者说也算是一种索引（有疑问的读者可以回顾一下上述第一节中讲解B树的部分）。
同样道理，R树的非叶子结点存放的数据结构为：(I, child-pointer)。
其中，child-pointer是指向孩子结点的指针，I是覆盖所有孩子结点对应矩形的矩形。这边有点拗口，但我想不是很难懂？给张图：
D,E,F,G为孩子结点所对应的矩形。A为能够覆盖这些矩形的更大的矩形。这个A就是这个非叶子结点所对应的矩形。这时候你应该悟到了吧？无论是叶子结点还是非叶子结点，它们都对应着一个矩形。树形结构上层的结点所对应的矩形能够完全覆盖它的孩子结点所对应的矩形。根结点也唯一对应一个矩形，而这个矩形是可以覆盖所有我们拥有的数据信息在空间中代表的点的。
我个人感觉这张图画的不那么精确，应该是矩形A要恰好覆盖D,E,F,G，而不应该再留出这么多没用的空间了。但为尊重原图的绘制者，特不作修改。
5.3、R树的操作
搜索
R树的搜索操作很简单，跟B树上的搜索十分相似。它返回的结果是所有符合查找信息的记录条目。而输入是什么？就我个人的理解，输入不仅仅是一个范围了，它更可以看成是一个空间中的矩形。也就是说，我们输入的是一个搜索矩形。
描述：假设T为一棵R树的根结点，查找所有搜索矩形S覆盖的记录条目。
S1:[查找子树] 如果T是非叶子结点，如果T所对应的矩形与S有重合，那么检查所有T中存储的条目，对于所有这些条目，使用Search操作作用在每一个条目所指向的子树的根结点上（即T结点的孩子结点）。
S2:[查找叶子结点] 如果T是叶子结点，如果T所对应的矩形与S有重合，那么直接检查S所指向的所有记录条目。返回符合条件的记录。
我们通过下图来理解这个Search操作。
阴影部分所对应的矩形为搜索矩形。它与根结点对应的最大的矩形（未画出）有重叠。这样将Search操作作用在其两个子树上。两个子树对应的矩形分别为R1与R2。搜索R1，发现与R1中的R4矩形有重叠，继续搜索R4。最终在R4所包含的R11与R12两个矩形中查找是否有符合条件的记录。搜索R2的过程同样如此。很显然，该算法进行的是一个迭代操作。
插入
R树的插入操作也同B树的插入操作类似。当新的数据记录需要被添加入叶子结点时，若叶子结点溢出，那么我们需要对叶子结点进行分裂操作。显然，叶子结点的插入操作会比搜索操作要复杂。插入操作需要一些辅助方法才能够完成。
描述：将新的记录条目E插入给定的R树中。
I1：[为新记录找到合适插入的叶子结点] 开始ChooseLeaf方法选择叶子结点L以放置记录E。
I2：[添加新记录至叶子结点] 如果L有足够的空间来放置新的记录条目，则向L中添加E。如果没有足够的空间，则进行SplitNode方法以获得两个结点L与LL，这两个结点包含了所有原来叶子结点L中的条目与新条目E。
I3：[将变换向上传递] 开始对结点L进行AdjustTree操作，如果进行了分裂操作，那么同时需要对LL进行AdjustTree操作。
I4：[对树进行增高操作] 如果结点分裂，且该分裂向上传播导致了根结点的分裂，那么需要创建一个新的根结点，并且让它的两个孩子结点分别为原来那个根结点分裂后的两个结点。
Function：ChooseLeaf
描述：选择叶子结点以放置新条目E。
CL1：[Initialize] 设置N为根结点。
CL2：[叶子结点的检查] 如果N为叶子结点，则直接返回N。
CL3：[选择子树] 如果N不是叶子结点，则遍历N中的结点，找出添加E.I时扩张最小的结点，并把该结点定义为F。如果有多个这样的结点，那么选择面积最小的结点。
CL4：[下降至叶子结点] 将N设为F，从CL2开始重复操作。
Function：AdjustTree
描述：叶子结点的改变向上传递至根结点以改变各个矩阵。在传递变换的过程中可能会产生结点的分裂。
AT1：[初始化] 将N设为L。
AT2：[检验是否完成] 如果N为根结点，则停止操作。
AT3：[调整父结点条目的最小边界矩形] 设P为N的父节点，EN为指向在父节点P中指向N的条目。调整EN.I以保证所有在N中的矩形都被恰好包围。
AT4：[向上传递结点分裂] 如果N有一个刚刚被分裂产生的结点NN，则创建一个指向NN的条目ENN。如果P有空间来存放ENN，则将ENN添加到P中。如果没有，则对P进行SplitNode操作以得到P和PP。
AT5：[升高至下一级] 如果N等于L且发生了分裂，则把NN置为PP。从AT2开始重复操作。
同样，我们用图来更加直观的理解这个插入操作。
我们来通过图分析一下插入操作。现在我们需要插入R21这个矩形。开始时我们进行ChooseLeaf操作。在根结点中有两个条目，分别为R1，R2。其实R1已经完全覆盖了R21，而若向R2中添加R21，则会使R2.I增大很多。显然我们选择R1插入。然后进行下一级的操作。相比于R4，向R3中添加R21会更合适，因为R3覆盖R21所需增大的面积相对较小。这样就在R8，R9，R10所在的叶子结点中插入R21。由于叶子结点没有足够空间，则要进行分裂操作。
插入操作如下图所示：
这个插入操作其实类似于第一节中B树的插入操作，这里不再具体介绍，不过想必看过上面的伪代码大家应该也清楚了。
删除
R树的删除操作与B树的删除操作会有所不同，不过同B树一样，会涉及到压缩等操作。相信读者看完以下的伪代码之后会有所体会。R树的删除同样是比较复杂的，需要用到一些辅助函数来完成整个操作。
Function：Delete
描述：将一条记录E从指定的R树中删除。
D1：[找到含有记录的叶子结点] 使用FindLeaf方法找到包含有记录E的叶子结点L。如果搜索失败，则直接终止。
D2：[删除记录] 将E从L中删除。
D3：[传递记录] 对L使用CondenseTree操作
D4：[缩减树] 当经过以上调整后，如果根结点只包含有一个孩子结点，则将这个唯一的孩子结点设为根结点。
Function：FindLeaf
描述：根结点为T，期望找到包含有记录E的叶子结点。
FL1：[搜索子树] 如果T不是叶子结点，则检查每一条T中的条目F，找出与E所对应的矩形相重合的F（不必完全覆盖）。对于所有满足条件的F，对其指向的孩子结点进行FindLeaf操作，直到寻找到E或者所有条目均以被检查过。
FL2：[搜索叶子结点以找到记录] 如果T是叶子结点，那么检查每一个条目是否有E存在，如果有则返回T。
Function：CondenseTree
描述：L为包含有被删除条目的叶子结点。如果L的条目数过少（小于要求的最小值m），则必须将该叶子结点L从树中删除。经过这一删除操作，L中的剩余条目必须重新插入树中。此操作将一直重复直至到达根结点。同样，调整在此修改树的过程所经过的路径上的所有结点对应的矩形大小。
CT1：[初始化] 令N为L。初始化一个用于存储被删除结点包含的条目的链表Q。
CT2：[找到父条目] 如果N为根结点，那么直接跳转至CT6。否则令P为N 的父结点，令EN为P结点中存储的指向N的条目。
CT3：[删除下溢结点] 如果N含有条目数少于m，则从P中删除EN，并把结点N中的条目添加入链表Q中。
CT4：[调整覆盖矩形] 如果N没有被删除，则调整EN.I使得其对应矩形能够恰好覆盖N中的所有条目所对应的矩形。
CT5：[向上一层结点进行操作] 令N等于P，从CT2开始重复操作。
CT6：[重新插入孤立的条目] 所有在Q中的结点中的条目需要被重新插入。原来属于叶子结点的条目可以使用Insert操作进行重新插入，而那些属于非叶子结点的条目必须插入删除之前所在层的结点，以确保它们所指向的子树还处于相同的层。
R树删除记录过程中的CondenseTree操作是不同于B树的。我们知道，B树删除过程中，如果出现结点的记录数少于半满（即下溢）的情况，则直接把这些记录与其他叶子的记录“融合”，也就是说两个相邻结点合并。然而R树却是直接重新插入。
同样，我们用图直观的说明这个操作。
假设结点最大条目数为4，最小条目数为2。在这张图中，我们的目标是删除记录c。首先使用FindLeaf操作找到c所处在的叶子结点的位置——R11。当c从R11删除时，R11就只有一条记录了，少于最小条目数2，出现下溢，此时要调用CondenseTree操作。这样，c被删除，R11剩余的条目——指向记录d的指针——被插入链表Q。然后向更高一层的结点进行此操作。这样R12会被插入链表中。原理是一样的，在这里就不再赘述。
有一点需要解释的是，我们发现这个删除操作向上传递之后，根结点的条目R1也被插入了Q中，这样根结点只剩下了R2。别着急，重新插入操作会有效的解决这个问题。我们插入R3，R12，d至它原来所处的层。这样，我们发现根结点只有一个条目了，此时根据Inert中的操作，我们把这个根结点删除，它的孩子结点，即R5，R6，R7，R3所在的结点被置为根结点。至此，删除操作结束。
如何将一个矩形集分裂成合适的两部分，是影响R树检索效率的一个重要因素。
1．以面积作为标准:即分裂后两部分的MBR的和最小。但是算法基于穷举，时间复杂度很大(指数级)。
2. 平方耗费算法:（时间复杂度为平方的近似算法）
(1) 首先从要分裂的矩形集中选取在分裂后最不可能在同一类中的两个矩形作为种子,作为两类中的第一个矩形
(2) 将剩余的矩形依次的分配到这两个类中。
该算法不保证分裂后的面积和最小
六、R树相关
R树是一种能够有效进行高维空间搜索的数据结构，它已经被广泛应用在各种数据库及其相关的应用中。但R树的处理也具有局限性，它的最佳应用范围是处理2至6维的数据，更高维的存储会变得非常复杂，这样就不适用了。近年来，R树也出现了很多变体，R*树就是其中的一种。这些变体提升了R树的性能。
地理围栏（Geo-fencing）是LBS的一种应用，就是用一个虚拟的栅栏围出一个虚拟地理边界，当手机进入、离开某个特定地理区域，或在该区域内活动时，手机可以接收自动通知和警告。如下图所示，假设地图上有三个商场，当用户进入某个商场的时候，手机自动收到相应商场发送的优惠券push消息。地理围栏应用非常广泛，当今移动互联网主要app如美团、大众点评、手淘等都可看到其应用身影。
图1 地理围栏示意图
