4、跳台阶问题
问题描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）
该问题课可以引申为
问题１：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
问题２：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
问题３：一只青蛙一次可以跳上1级、５级、１０级台阶，求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
解析
动态规划
假设f(n)是n级台阶的跳法，首先以简单的情况来说，
如果
n=1，f(n)=1 （1）；
n=2，f(n)=2 （1-1，2）；
n=3，f(n)=3 （1-1-1，2-1，1-2）······
n级对应的问题的解来源于n级的上一步所在的层级，比如，对于问题1，n级可能是上一次所处的层级跳了１级或2级，所以f(n)=f(n-1)+f(n-2)，以此类推：
- 对于问题１，有公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2), n>=2,即为一个斐波那契数列,需要用动态规划逐步求出f(0),f(1)…
- 对于问题２，有公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…f(0), f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+…+f(0),综合起来得，f(n)=2^n,不需要用动态规划，直接套公式
- 对于问题３，有公式：f(n)=f(n-1)+f(n-5)+f(n-10), n>=10,需要用动态规划，逐步求出f(0),f(1),f(2)…直到最后需要的f(n)
代码块
问题1可以看作斐波那契数列的求解问题
1、自顶向下的动态规划–递归
这是最简单的实现方法，也是最低级的做法，耗费的时间是输入规模的指数级别的。
class Solution {
public:
int jumpFloor(int number) {
if(number<=0) return 0;
if(number==1) return 1;
if(number==2) return 2;
return jumpFloor[number-1]+jumpFloor[number-2];
}
};2、自底向上的动态规划
是最普通的动态规划方法，线性时间复杂度即可得到结果。
class Solution {
public:
int jumpFloor(int number) {
int a[number+1];
if(number<=0) return 0;
if(number==1) return 1;
if(number==2) return 2;
a[1]=1;
a[2]=2;
for(int i =3;i<=number;i++){
a[i] = a[i-1] + a[i-2];
}
return a[number];
}
};3、备忘录方法
这也是一种自底向上的动态规划，与递归方法基本一致。唯一的区别是这里采用了一个数组来记录每个子问题的解，从而避免重复求解，将问题简化。
class Solution {
public:
int jumpFloor(int number) {
int a[number+1];
if(number<=0) return 0;
if(number==1) return a[1] = 1;
if(number==2) return a[2] = 2;
a[number] = jumpFloor[number-1]+jumpFloor[number-2];
return a[number];
}
};注
动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：
(1) 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
(2) 无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
(3) 有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）
拓展
问题４：矩形覆盖：我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？