线段树-Count on a Treap-神题

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Count on a Treap

题目来源

Codechef Feb 2014 COT5
https://www.codechef.com/problems/COT5

问题提出

什么是Treap

• 是一颗二叉搜索树,每个节点拥有 $key$属性.
• 是一颗堆,每个节点拥有 $weight$属性

问题

• $n$次操作,三种类型,要求维护"大根Treap"
  • $(0,k,w)$ ,插入 $key$为 $k,weight$为 $w$的点.
  • $(1,k)$,删除 $key$为 $k$的点
  • $(2,k_u,k_v)$,询问 $key$为 $k_u,k_v$的两点在 $Treap$中的距离.

保证 $key$, $weight$均不相同.

问题解答

$dist(u,v) = dep(u) + dep(v) - 2* dep(lca)$

我们以 $key$为下标,将这个树按中序遍历展开.

显然 $[k_u,k_v]$之间最大的 $weight$最大的点就是两点的 $lca$.

证明:首先 $lca$一定在区间 $[k_u,k_v]$之间,不然 $k_u,k_v$将位于 $lca$的同一侧,这不可能.其次权重最大的点一定是这颗子树的根节点,这个点一定是祖先,如果它不是 $lca$的话,那么它的 $key$将大于或小于 $lca$形成的子树中所有的点的 $key$,也就是说它不在区间 $[k_u,k_v]$之间,矛盾.

至此,用线段树可以轻松维护 $lca$.

那么如何维护一个点在树上的深度呢?

根据Treap的特殊性质,我们知道每个点的 $weight$一定小于他父亲的 $weight$.

从这个点到根节点的祖先链上的 $weight$是不断递增的.

这里有一个非常特殊的性质,在序列上就是从这个点往两侧各找一个直接的递增子序列,那么序列上的点都是他的祖先.

这个性质基于这样一个事实:每个点左右两侧的第一个大于它 $weight$的点,都是这个点的一个祖先.因为其中一个点是它的父亲,而另一个点…自己画图观察一下就好了.

因此两个递增序列的长度和就是它到根的距离.

如何维护某一个点向右的直接递增序列呢.也是使用线段树,参考我的另一篇博客,楼房重建.