图像配准之Hausdorff距离

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Hausodorff距离是两个点集之间的最大最小距离。给定两个特征点集A和B，那么两个点集A和B之间的Hausdorff距离定义如下：

$$H(A,B)=max[h(A,B),h(B,A)] \tag{*}$$
式中
$$h(A,B)=\max_{a\in A} \{ \max_{b \in B} \lVert a-b \rVert \}$$
$$h(B,A)=\max_{b\in B} \{ \max_{a \in A} \lVert b-a \rVert \}$$
其中， $\lVert \cdot \rVert$ 表示两个特征点之间的距离，如常用的欧式距离。

上式(*)用于计算双向Hausdorff距离，是计算Hausdorff距离最常用的形式。其中，$h(A,B)$ 和 $h(B,A)$ 分别称为从点集A到点集B和从点集B到点集A的单方向的Hausdorff距离。如果单方向的$h(A,B)$ 中每一个A的点离B中至少有一个点的距离不大于 $d$，而且对于A中某些点，这个值恰好是 $d$，那么这些点就是最不匹配的点。因此Hausdorff距离代表两个点集的最不相似程度，它作为相似性测度时，必须使Hausdorff距离最小化。