已知参数方程，求解当前曲率e

其他 2018-10-18 15:09:54 阅读次数: 0

一：问题描述

已知当前轨迹参数方程 $\left\{\begin{matrix} x=\omega (t)\\ y=\varphi (t) \end{matrix}\right.$ ，求曲率K对于参数t的参数方程

二：求解

已知曲率 $K=\frac{d\alpha }{ds}$ ，其中s是弧长， $\alpha$ 是切线的斜率

（一）：求 $d\alpha$

$tan\alpha =dy/dx$

$dy= {\varphi}'(t)dt$

$dx= {\omega }'(t)dt$

$\alpha =arctan(\frac{{\varphi }'(t)}{{\omega }'(t)})$

$\frac{d\alpha }{dt}=\frac{{\varphi }'(t) {\omega }''(t) -{\omega }'(t){\varphi }''(t)}{{\varphi }'^{2}(t) +{\omega }'^{2}(t) }$

（二）：求 $ds$

$ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}=\sqrt{ {\omega}'^{2}(t)+{\varphi }'^{2}(t)} dt$

（三）：联立求解

解得

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