1-4、数据结构——图

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图结构是数学建模中最常用的数据结构之一，且图论相关模型在数学建模中也有广泛的应用。本文从数据结构这门课的专业知识出发，第一部分列举了一些与图相关的一些基本概念，包括边、顶点、度等。第二部分列举了一些图在计算机中的表示方法，如邻接矩阵法、关联矩阵法等。第三部分结合实际代码，讲述了Matlab中通过抽象的矩阵来画出形象的图，并修改形状、颜色、位置等属性的方法。第四部分列举了数据结构中与图相关的一些算法，如克鲁斯卡尔算法、普里姆算法等。
由于本节涉及到的许多相关专业知识无法用简短的篇幅讲清楚，且各类教科书上均已写的较为详细。故对于基础理论部分不详细描述，建议参考数据结构、图论、算法、数学建模相关教科书。

一、 基本概念

1、 图
图是由顶点集合以及顶点间的关系集合组成的一种数据结构。$Graph = (V,E)$ $V$是顶点的有穷非空集合；$E$是顶点之间关系的有穷集合，也叫边集合。

2、 有向边
若从顶点Vi到Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧。用有序偶$<Vi,Vj>$来表示，$Vi$称为弧尾，$Vj$称为弧头。

3、 无向边
若顶点$Vi$到$Vj$之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对$(Vi,Vj)$来表示。

4、 无向图
一个无向图(undirected graph)$G$ 是由一个非空有限集合$V (G)$和$V (G)$中某些元素的无序对集合$E(G)$构成的二元组，记为$G = (V(G),E(G))$

5、 顶点和边
$V (G)$称为图$G$的顶点集（vertex set）或节点集（node set），$V(G)$的每一个元素$vi（i=1,2,…,n）$称为该图的一个顶点（vertex）或节点（node）；
$E(G)$称为图$G$的边集（edge set），$E(G)$中的每一个元素 $ek$ (即$V(G)$中某两个元素$vi$，$vj$的无序对) 记为$ek =（vi，vj）$或
$ek = vivj = vjvi （k =1,2,…,m）$，被称为该图的一条从$vi$ 到$vj$ 的边（edge）。

6、 相邻
当边 $ek = vivj$ 时，称$vi$,$vj$为边$ek$的端点，并称$vj$与$vi$相邻（adjacent）；边$ek$称为与顶点$vi$，$vj$关联（incident）。如果某两条边至少有一个公共端点，则称这两条边在图$G$中相邻。

7、 有限图
如果一个图的顶点集和边集都有限，称为有限图，图$G$的顶点数用符号$|V |$或$v(G)$表示，边数用$| E |$或$\varepsilon (G)$表示。（当讨论的图只有一个时，总是用$G$来表示这个图从而在图论符号中我们常略去字母$G$）

8、 简单图
端点重合为一点的边称为环(loop)。如果一个图既没有环也没有两条边连接同一对顶点，称为简单图(simple graph)

9、 网络（带权的图）
边上赋权的无向图称为赋权无向图或无向网络（undirected network）。我们对图和网络不作严格区分，因为任何图总是可以赋权的。

10、有向图
一个有向图（directed graph 或 digraph）$G$ 是由一个非空有限集合$V$和$V$中某些元素的有序对集合 $A$构成的二元组，记为$G = (V, A)$。

11、弧
$V$称为图$G$的顶点集或节点集，$V$中的每一个元素$vi (i = 1,2, ,n)$ 称为该图的一个顶点或节点；
$A$称为图$G$的弧集（arc set），$A$中的每一个元素 $ak$ (即$V$ 中某两个元素 $vi$ ,$vj$ 的有序对) 记为$ak =（vi，vj）$
或$ak = vivj（k =1,2,m）$，被称为该图的一条从$vi$ 到$vj$ 的弧（edge）。
当弧 $ak = vivj$ 时，称 $vi$ 为$ak$ 的尾（tail），$vj$ 为$ak$ 的头（head），并称弧$ak$ 为$vi$ 的出弧（outgoing arc），为$vj$ 的入弧（incoming arc）。

12、基础图和定向图
对应于每个有向图$D$ ，可以在相同顶点集上作一个图$G$ ，使得对于$D$ 的每条弧，$G$有一条有相同端点的边与之相对应，这个图称为$D$ 的基础图。反之，给定任意图$G$，对于它的每个边，给其端点指定一个顺序，从而确定一条弧，由此得到一个有向图，这样的有向图称为$G$ 的一个定向图。
注：
以下若未指明“有向图”三字，“图”字皆指无向图。

13、完全图
每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图(complete graph)。n 个顶点的完全图记为$Kn$

14、子图和支撑子图
如果$V (H) ⊂V (G)$ ，$E(H) ⊂ E(G)$，图$H$叫做图$G$的子图（subgraph），记作 $H ⊂ G$ ，若$H$ 是$G$ 的子图，则$G$称为$H$的母图。
$G$ 的支撑子图（spanning subgraph，又成生成子图）是指满足$V(H) =V(G)$的子图$H$

15、度
设$v∈V (G)$，$G$ 中与v关联的边数（每个环算作两条边）称为$v$的度(degree)，记作$d(v)$。若$d(v)$是奇数，称$v$是奇顶点(odd point)；$d(v)$是偶数，称$v$是偶顶点(even point)（有向图的顶点的度又分为入度和出度）
任意一个图的奇顶点的个数是偶数；任意一个图的全部的顶点的度之和为偶数。

16、轨、迹与连通
$W = v0 \quad e1 \quad v1 \quad e2…ek \quad vk$，其中$ei∈E(G) ,1 ≤ i ≤ k ，$ $vj∈V (G)，0 ≤ j ≤ k$,$ei$与$vi-1$，$vi$关联，称$W$是图$G$的一条道路(walk)，$k$为路长，顶点$v0$和 $vk$ 分别称为$W$的起点和终点，而$v1,v2,…,vk-1$称为它的内部顶点。
若道路$W$的边互不相同，则$W$称为迹(trail)。若道路$W$的顶点互不相同，则$W$称为轨(path)。
如果一条道路有正的长且起点和终点相同,称这条路是闭的。起点和终点重合的轨叫做圈(cycle)。
若图$G$的两个顶点$u$,$v$间存在道路，则称$u$和$v$连通(connected)。$u$,$v$间的最短轨的长叫做$u$,$v$间的距离。记作$d(u,v)$。若图$G$的任二顶点均连通，则称$G$是连通图。
显然有：
图$P$ 是一条轨的充要条件是$P$ 是连通的，且有两个一度的顶点，其余顶点的度为2；
图$C$ 是一个圈的充要条件是$C$ 是各顶点的度均为2 的连通图。

二、数据结构

在下面的讨论中，我们首先假设$G = (V, A)$是一个简单有向图，$|V |= n$,$| A|= m$，并假设$V$中的顶点用自然数$1,2,…，n$表示或编号， $A$中的弧用自然数1,2,…，m表示或编号。对于有多重边或无向网络的情况，我们只是在讨论完简单有向图的表示方法之后，给出一些说明。
例图：

1、 邻接矩阵表示法：
如果两节点之间有一条弧，则邻接矩阵中对应的元素为 1；否则为0。可以看出，这种表示法非常简单、直接。但是，在邻接矩阵的所有n2个元素中，只有m个为非零元。如果网络比较稀疏，这种表示法浪费大量的存储空间，从而增加了在网络中查找弧的时间。
如例图所示有向图的邻接矩阵为：

0 1 1 0 0
0 0 0 1 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0

对于网络中的权，也可以用类似邻接矩阵的n × n 矩阵表示。只是此时一条弧所对应的元素不再是1，而是相应的权而已。如果网络中每条弧赋有多种权，则可以用多个矩阵表示这些权。

2、 关联矩阵表示法：
在关联矩阵中，每行对应于图的一个节点，每列对应于图的一条弧。如果一个节点是一条弧的起点，则关联矩阵中对应的元素为1；如果一个节点是一条弧的终点，则关联矩阵中对应的元素为−1；如果一个节点与一条弧不关联，则关联矩阵中对应的元素为 0。
对于简单图，关联矩阵每列只含有两个非零元（一个+1，一个−1）。
可以看出，这种表示法也非常简单、直接。但是，在关联矩阵的所有nm 个元素中，只有2m个为非零元。如果网络比较稀疏，这种表示法也会浪费大量的存储空间。但由于关联矩阵有许多特别重要的理论性质，因此它在网络优化中是非常重要的概念。
对于例图，如果关联矩阵中每列对应弧的顺序为(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)，则关联矩阵表示为：

1 1 0 0 0 0 0 0
-1 0 1 -1 0 0 0 0
0 -1 0 1 -1 0 -1 0
0 0 -1 0 1 1 0 -1
0 0 0 0 0 -1 1 1

对于网络中的权，也可以通过对关联矩阵的扩展来表示。例如，如果网络中每条弧有一个权，我们可以把关联矩阵增加一行，把每一条弧所对应的权存储在增加的行中。如果网络中每条弧赋有多个权，我们可以把关联矩阵增加相应的行数，把每一条弧所对应的权存储在增加的行中。

3、 弧表表示法：
弧表表示法将图以弧表（arc list）的形式存储在计算机中。所谓图的弧表，也就是图的弧集合中的所有有序对。弧表表示法直接列出所有弧的起点和终点，共需2m个存储单元，因此当网络比较稀疏时比较方便。此外，对于网络图中每条弧上的权，也要对应地用额外的存储单元表示。
对于例图，假设弧(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)上的权分别为8，9，6，4，0，3，6 和7，则弧表表示为：

起点 1 1 2 3 4 4 5 5
终点 2 3 4 2 3 5 3 4
权 8 9 6 4 0 3 6 7

为了便于检索，一般按照起点、终点的字典序顺序存储弧表，如上面的弧表就是按照这样的顺序存储的。

4、 邻接表表示法：
图的邻接表，也就是图的所有节点的邻接表的集合；而对每个节点，它的邻接表就是它的所有出弧。邻接表表示法就是对图的每个节点，用一个单向链表列出从该节点出发的所有的弧，链表中每个单元对应于一条出弧。为了记录弧上的权，链表中每个单元除列出弧的另一个端点外，还可以包含弧上的权等作为数据域。图的整个邻接表可以用一个指针数组表示。
对于例图，邻接表表示为：

5、 星形表示法：
星形（star）表示法的思想与邻接表表示法的思想有一定的相似之处。
对每个节点，它也是记录从该节点出发的所有弧，但它不是采用单向链表而是采用一个单一的数组表示。也就是说，在该数组中首先存放从节点1 出发的所有弧，然后接着存放从节点2出发的所有孤，依此类推，最后存放从节点n 出发的所有孤。
对每条弧，要依次存放其起点、终点、权的数值等有关信息。这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号，只是从同一节点出发的弧的顺序可以任意排列。此外，为了能够快速检索从每个节点出发的所有弧，我们一般还用一个数组记录每个节点出发的弧的起始地址（即弧的编号）。
在这种表示法中，可以快速检索从每个节点出发的所有弧，这种星形表示法称为前向星形（forward star）表示法。
对于例图，仍然假设弧（1,2），（l,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5），（5,3）和（5,4）上的权分别为8，9，6，4，0，3，6 和7。此时该网络图可以用前向星形表示法表示为以下两个表：

节点对应的出弧的起始地址编号数组
节点号$i\quad\quad\quad \quad \quad1 \quad 2 \quad3 \quad 4 \quad 5\quad 6$
起始地址$point(i)\quad 1 \quad 3 \quad4 \quad 5 \quad 7 \quad 9$

记录弧的信息的数组
弧编号 $\quad1 \quad2 \quad3\quad 4 \quad5 \quad6\quad 7\quad 8$
起 点 $\qquad1 \quad1\quad 2\quad 3\quad 4\quad 4\quad 5\quad 5$
终 点 $\qquad2 \quad3\quad 4\quad 2 \quad3\quad 5\quad 3\quad 4$
权 $\qquad\quad8 \quad9\quad 6 \quad4\quad 0\quad 3\quad 6\quad 7$

三、用matlab画图

如图，假设弧（1,2），（1,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5），（5,3）和（5,4）上的权分别为8，9，6，4，10，3，6 和7。用matlab画例图（带箭头的有向图）

cm = [
0 8 9 0 0;
0 0 0 6 0;
0 4 0 0 0;
0 0 10 0 1;
0 0 6 7 0;
];                            % 图的带权邻接矩阵
IDS = {'1','2','3','4','5'};  % 节点的名字
bg = biograph(cm,IDS);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 设置图的颜色形状等属性
set(bg.nodes,'shape','circle','color',[1,1,1],'lineColor',[0,0,0]);
set(bg,'layoutType','radial');
bg.showWeights = 'on';
set(bg.nodes,'textColor',[0,0,0],'lineWidth',2,'fontsize',9);
set(bg,'arrowSize',12,'edgeFontSize',9);
get(bg.nodes,'position');
view(bg);

运行后得到：

可以鼠标选中某个节点，在matlab图片框中手动调整节点的位置：

或者在上述程序中用如下代码代替语句get(bg.nodes,’position’),从而直接设置各个节点的坐标：

% 设置各个节点的坐标
dolayout(bg);
bg.nodes(1).position=[0,100];
bg.nodes(2).position=[100,200];
bg.nodes(3).position=[100,0];
bg.nodes(4).position=[200,200];
bg.nodes(5).position=[200,0];
dolayout(bg,'pathsonly',true);

运行后得到：

除了在程序中设置图的颜色形状外，还可以在工具栏选中 layout properties选项，来进行更多的属性选择，例如结点的形状、底色、边界颜色、结点ID的颜色、箭头的大小、线宽等等参数都可以自己设置。十分方便，不一一介绍，读者可自行尝试操作。

在颜色参数这方面，[x,y,z]依次表示红、绿、蓝、三种颜色的百分比（这是RGB图的存储模型），例如[1,1,1]表示100%的红、100%的绿、100%的蓝混合在一起，即为白色；[0,0,0]表示0%的红、0%的绿、0%的蓝混合在一起，即为黑色
例如经过简单的操作后可得到：

四、图论相关算法

与图相关的算法在各类教科书上均有详细介绍，且需要较多篇幅才能说清楚，故在此不详述，建议参考、查阅相关教科书。

1、迪杰特斯拉（Dijkstra）算法
使用范围或所能解决的问题：单源最短路径(也可多次调用产生类似floyd算法的情况)

2、普里姆（Prim)算法
使用范围或所能解决的问题：最小生成树生成(稀疏图)

3、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
使用范围或所能解决的问题：最小生成树生成(稀疏图)

4、弗洛伊德算（Floyd）算法
使用范围或所能解决的问题：单源对全部点的最短路径生成

5、网络流算法
使用范围或所能解决的问题：网络上的优化问题(与最优化问题重复)

6、哈密顿（Hamilton）图算法
使用范围或所能解决的问题：得到遍历所有节点的最短边权和回路

7、欧拉（Eular）图算法
使用范围或所能解决的问题：得到遍历所有边的巡回路线

注：本文理论部分参考自《数学建模算法与程序》一书中的相关章节
其他推荐参考书籍：
数学建模算法大全（海军工大）Chapter5
数学建模基础（薛）Chapter6
数学建模（哈工程）Chapter6
数据结构教材等