机械臂动力学–加速度计算

线加速度

在博客《速度与矢量的微分》的式（5-12）描述了坐标系{A}下的速度矢量 $^B Q$ ，当坐标系{A}的原点与坐标系{B}的原点重合时，速度矢量 $^BQ$ 可以表示为
$^AV_Q=\ ^A_BR^BV_Q+^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ \tag{6-5}$
方程左边描述的是矢量 $^AQ$ 随时间变化的情况。由于两个坐标系的原点重合，因此可以把式（6-5）改写成
$\frac{d}{dt}(^A_BR\ ^BQ)=\ ^A_BR^BV_Q+^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ \tag{6-6}$
对式（6-5）求导，当坐标系{A}和坐标系{B}的原点重合时，可得到 $^B Q$ 的加速度在坐标系{A}中的表达式
$^A\dot V_Q=\frac{d}{dt}(^A_BR\ ^BV_Q)+^A\dot \Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ +^A \Omega_B\times \frac{d}{dt} (^A_BR\ ^BQ) \tag{6-7}$
对上式第一项和最后一项应用式（6-6），那么式（6-7）右边可表示为
$\ ^A_BR^B\dot V_Q+^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BV_Q+^A\dot \Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ\\ +^A\Omega_B\times (\ ^A_BR^BV_Q+^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BQ) \tag{6-8}$
进一步整理得到
$^A\dot V_Q= \ ^A_BR^B\dot V_Q+2\ ^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BV_Q+^A\dot \Omega_B \times \ ^A_BR\ ^BQ \\ +^A\Omega _B\times(^A\Omega _B\times ^A_BR ^BQ)\tag{6-9}$
最后，为了将结论推广到两个坐标系原点不重合的一般情况，这里需要附加一个表示坐标系{B}原点线加速度的项，最终得到一般表达式：
$^A\dot V_Q=^A\dot V_{BORG}+ \ ^A_BR^B\dot V_Q+2\ ^A\Omega_B\times \ ^A_BR\ ^BV_Q \\ +^A\dot \Omega_B \times \ ^A_BR\ ^BQ +^A\Omega _B\times(^A\Omega _B\times ^A_BR ^BQ)\tag{6-10}$
特别地，当 $^BQ$ 为常量时，即
$^BV_Q=^B\dot V_Q=0 \tag{6-11}$
这时，式（6-10）简化为
$^A\dot V_Q=^A\dot V_{BORG}+^A\dot \Omega_B \times \ ^A_BR\ ^BQ +^A\Omega _B\times(^A\Omega _B\times ^A_BR ^BQ)\tag{6-12}$

角加速度

假设坐标系{B}以角速度 $^A\Omega_B$ 相对于坐标系{A}转动，同时坐标系{C}以角速度 $^B\Omega_C$ 相对于坐标系{B}转动。为求 $^A\Omega_C$ ,在坐标系{A}中进行矢量相加
$^A\Omega_C=^A\Omega_B+\ ^A_BR\ ^B\Omega_C \tag{6-13}$
对上式求导有
$^A\dot \Omega_C=^A\dot\Omega_B+\frac{d}{dt}(^A_BR^B\Omega_C) \tag{6-14}$
将式（6-6）代入上式右侧最后一项有
$^A\dot \Omega_C=^A\dot\Omega_B+^A\Omega_B\times^A_BR^B\Omega_C+^A_BR^B\dot \Omega_C \tag{6-15}$
上式用于计算操作臂连杆的角速度。

参考文献

[1] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版[M]. 机械工业出版社, 2006.