表达式上的动态规划
最优矩阵链乘
给出n个矩阵组成的序列，设计一种方法把它们依次乘起来，使得总的运算量尽量小。假设第i个矩阵Ai 是Pi-1 X Pi的。
- 用状态f(i,j)表示i到j矩阵间的运算量，状态转移方程：
f(i, j) = min { f(i, k) + f(k+1, j) + P(i-1)P(k)P(j) }, i <= k < j
凸边多边形上的动态规划
最优三角剖分
对于一个n个顶点的凸边多边形，有很多种方法可以对它进行三角剖分，即用n-3条互不相交的对角线把凸边多边形分成n-2个三角形。为每个三角形规定一个权函数f(i,j,k) （如三角形的周长或三个顶点的权和），求让所有三角形权和最大的方案
- 定义f(i,j) 为“从顶点i到顶点j所构成的子多边形的最大三角剖分权和”，则边PiPj在此多边形内一定恰好属于一个三角形
iPjPk，只要枚举k的位置，就能把多边形分割成两部分。注意到两个多边形的顶点序列仍是连续的，因此有状态转移方程：f(i, j) = max { f(i, k) + f(k, j) + w( i, j, k) }
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树上的动态规划
树的最大独立集
对于一棵n个节点的无根树，选出尽量多的节点，使得任何两个节点均不相邻（称为最大独立集），然后输入n-1条无向边，输出一个最大独立集（如果有多解，则任意输出一组）。
分析：
用d(i)表示以i为根节点的子树的最大独立集大小。此时需要注意的是，本题的数是无根的：没有所谓的“父子”关系，而只有一些无向边。没关系，只要任选一个根r，无根树就变成了有根树，上述的状态定义也就有了意义了。
节点i只有两种决策：选和不选。如果不选i，则问题转化为了求出i的所有儿子的d值再相加；如果选i，则它的儿子全部不能选，问题转化为了求出i的所有孙子的d值之和。换句话说，状态转移方程为：
,其中gs(i)和s(i)分别为i的孙子集合与儿子集合.
代码该如何写呢？上面的方程涉及“枚举节点i的所有儿子和孙子”，颇为不便。其实可以换个角度来看：不从i找s(i)和gs(i)的元素，而从s(i)和gs(i)的元素找i。换句话说，当计算出一个d(i)后，用它去更新i的父亲和祖父节点的类加值和
。这样一每个节点甚至不必记录它的儿子的节点有哪些，只需记录父亲节点即可。
传统的递推法可以表示成“对于每个状态i，计算f(i)”,或者成为“填表法”。这需要对于每个状态i，找到f(i)依赖的所有状态，在某些时候并不方便。另一种方法是“对于每个状态i，更新f（i）所影响到的状态”，或者称为“刷表法”，有时比填表法方便。但需要注意的是，只有当每个状态所依赖的状态对它的影响相互独立时才能用刷表法。例如，在最优矩阵链乘问题中就无法直接使用刷表法。