轻松理解-opencv-数字图像图像处理--一维离散卷积和一维离散傅里叶变换

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第一章：一维离散卷积

假设有两个有限序列：

，

我们把他们放入以下栅格：

然后，沿着，进行滑窗：

      

                                  

从下面开始出现相互重叠的栅格： 

     

     

     

    

    

     直到不再有相互重叠的栅格：

我们可以看出上面一共得出了5个值，即以下序列：

                                                                                                                                        

那么该序列即：和的卷积，显然序列的长度为 ：的长度+的长度-1。

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矩阵法求卷积：

给出矩阵构造的方法步骤：

1：从上述卷积的图解法，可以看出，虽然-1排在前面，但是第一次参与运算的是 1,所以我们首先把旋转180度，得到。

2：在和末尾进行补零，使它们的长度均为 4+2-1=5（即卷积后元素的个数）， 为了讨论方便 补零后 都转换为列向量：

 、

以补零后的列向量为基础，构造以下循环矩阵，

3、两个矩阵相乘，即可得到卷积的结果：

可以看到矩阵相乘得到的结果，即为卷积得到的结果：

                                                                                                     。

【补充：解释上述构造循环矩阵的方法】

假设有以下向量：

那么以它为基础的循环矩阵为：

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多项式法求卷积：

把

                                                                                                   

翻转180，得到

                                                                                                 ,

然后分别以它们为系数（从高次幂到低次幂），得到两个多项式：

,，

然后上述两个多项式相乘：

，

把上述多项式的结果，按从高次幂到低次幂取出它们的系数，即为卷积的结果：

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以下会补上一维离散的傅里叶变换、以及一维离散的傅里叶变换和一维离散卷积的关系。

并将以上内容推广到二维，用于数字图像处理。。