二叉堆（Binary Heap）

（1）structure property

Heap（堆）是一个除了底层节点外的完全填满的二叉树，底层可以不完全，左到右填充节点。（a heap is a binary tree that completely filled, with the exception of bottom level, which is filled from left to right.）这样的树叫做完全二叉树。

完全二叉堆的通俗解释为：上层节点全满时，下层才能有节点；且下层节点必须是从左往右添加的。

一个高度为h 的完全二叉树应该有以下的性质：

a) 有2^h到2^h-1个节点

b) 完全二叉树的高度为[logN](向下取整)

此时注意，当N为2的多次方时，h=logN+1;

c)他的左子节点在2*i，右子节点在（2*i+1）

d) 它的父节点在【i/2】(向下取整)

二叉堆是一种逻辑上的数据结构，而它是由数组来实现的。

下图显示了完全二叉树与数组的对应关系：

在这里插入图片描述

（2）heap order property

有两种结构：最大堆和最小堆。
最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。示意图如下：

java里面，大家熟知的Queue接口中的PriorityQueue，它就是最小堆最好的例子。

其实从这里可以看出，堆的两条性质：（a）完全二叉树；（b）父节点小于后继子节点

（3）堆的操作

插入

如果要在二叉堆中插入或删除一个元素，必须保证堆性质仍能满足。

新插入的节点new 放在完全二叉树最后的位置，再和父节点比较。如果new节点比父节点小，那么交换两者。交换之后，继续和新的父节点比较…… 直到new节点不比父节点小，或者new节点成为根节点。这样得到的树，就恢复了堆的性质。

图

图 5

删除

删除操作一定是踢出数组的第一个元素（即根节点），这么来第一个元素以前的位置就成了空位，让最后一个节点 last成为新的节点，从而构成一个新的二叉树。再将last节点不断的和子节点比较。如果last节点比两个子节点中小的那一个大，则和该子节点交换。直到last节点不大于任一子节点都小，或者last节点成为叶节点。

图 6