第7章 二叉树和递归

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第7章 二叉树和递归

递归，是使用计算机解决问题的一种重要的思考方式。而二叉树由于其天然的递归结构，使得基于二叉树的算法，均拥有着递归性质。使用二叉树，是研究学习递归算法的最佳入门方式。在这一章里，我们就来看一看二叉树中的递归算法。…

二叉树是天然的递归结构（空也是一个二叉树）

递归包括：

1. 递归终止条件

2. 递归过程

目录

• 7-1 二叉树天然的递归结构

• 7-2 一个简单的二叉树问题引发的血案 Invert Binary Tree

• 7-3 注意递归的终止条件 Path Sum

• 7-4 定义递归问题 Binary Tree Path

• 7-5 稍复杂的递归逻辑 Path Sum III

• 7-6 二分搜索树中的问题 Lowest Common Ancestor of a Binary Search Tree

7-1 二叉树天然的递归结构

题目: LeetCode 104. 二叉树的最大深度

给定一个二叉树，找出其最大深度。

二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。

示例：
给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]，

3

/
9 20
/
15 7
返回它的最大深度 3 。

// 104. Maximum Depth of Binary Tree
// https://leetcode.com/problems/maximum-depth-of-binary-tree/description/
// 时间复杂度: O(n), n是树中的节点个数
// 空间复杂度: O(h), h是树的高度
class Solution {

    // Definition for a binary tree node.
    public class TreeNode {
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }

    public int maxDepth(TreeNode root) {

        if(root == null)
            return 0;

        return 1 + Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right));
    }
}

课后作业: LeetCode 111

7-2 一个简单的二叉树问题引发的血案 Invert Binary Tree

题目: LeetCode 226. 翻转二叉树

翻转一棵二叉树。

示例：

输入：

 4

/
2 7
/ \ /
1 3 6 9
输出：

 4

/
7 2
/ \ /
9 6 3 1
备注:
这个问题是受到 Max Howell 的 原问题 启发的 ：

谷歌：我们90％的工程师使用您编写的软件(Homebrew)，但是您却无法在面试时在白板上写出翻转二叉树这道题，这太糟糕了。

/// 226. Invert Binary Tree
/// https://leetcode.com/problems/invert-binary-tree/description/
/// 时间复杂度: O(n), n为树中节点个数
/// 空间复杂度: O(h), h为树的高度
public class Solution {

    // Definition for a binary tree node.
    public class TreeNode {
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }

    public TreeNode invertTree(TreeNode root) {

        if(root == null)
            return null;

        TreeNode left = invertTree(root.left);
        TreeNode right = invertTree(root.right);

        root.left = right;
        root.right = left;

        return root;
    }
}

课后作业: LeetCode 100、101、222、110

7-3 注意递归的终止条件 Path Sum

题目: LeetCode 112. 路径总和

给定一个二叉树和一个目标和，判断该树中是否存在根节点到叶子节点的路径，这条路径上所有节点值相加等于目标和。

说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。

示例:
给定如下二叉树，以及目标和 sum = 22，

          5
         / \
        4   8
       /   / \
      11  13  4
     /  \      \
    7    2      1

返回 true, 因为存在目标和为 22 的根节点到叶子节点的路径 5->4->11->2。

/// 112. Path Sum
/// https://leetcode.com/problems/path-sum/description/
/// 时间复杂度: O(n), n为树的节点个数
/// 空间复杂度: O(h), h为树的高度
class Solution {

    // Definition for a binary tree node.
    public class TreeNode {
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }

    public boolean hasPathSum(TreeNode root, int sum) {

        if(root == null)
            return false;

        if(root.left == null && root.right == null)
            return sum == root.val;

        return hasPathSum(root.left, sum - root.val)
                || hasPathSum(root.right, sum - root.val);
    }
}

课后作业: LeetCode 111、404

7-4 定义递归问题 Binary Tree Path

题目: LeetCode 257. 二叉树的所有路径

给定一个二叉树，返回所有从根节点到叶子节点的路径。

说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。

示例:

输入:

1
/
2 3

5

输出: [“1->2->5”, “1->3”]

解释: 所有根节点到叶子节点的路径为: 1->2->5, 1->3

import java.util.List;
import java.util.ArrayList;

/// 257. Binary Tree Paths
/// https://leetcode.com/problems/binary-tree-paths/description/
/// 时间复杂度: O(n), n为树中的节点个数
/// 空间复杂度: O(h), h为树的高度
public class Solution {

    // Definition for a binary tree node.
    public class TreeNode {
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }

    public List<String> binaryTreePaths(TreeNode root) {

        ArrayList<String> res = new ArrayList<String>();

        if(root == null)
            return res;

        if(root.left == null && root.right == null){
            res.add(Integer.toString(root.val));
            return res;
        }

        List<String> leftPaths = binaryTreePaths(root.left);
        for(String s: leftPaths){
            StringBuilder sb = new StringBuilder(Integer.toString(root.val));
            sb.append("->");
            sb.append(s);
            res.add(sb.toString());
        }

        List<String> rightPaths = binaryTreePaths(root.right);
        for(String s: rightPaths) {
            StringBuilder sb = new StringBuilder(Integer.toString(root.val));
            sb.append("->");
            sb.append(s);
            res.add(sb.toString());
        }

        return res;
    }
}

课后作业: LeetCode 113、129

7-5 稍复杂的递归逻辑 Path Sum III

题目: LeetCode 437. 路径总和 III

给定一个二叉树，它的每个结点都存放着一个整数值。

找出路径和等于给定数值的路径总数。

路径不需要从根节点开始，也不需要在叶子节点结束，但是路径方向必须是向下的（只能从父节点到子节点）。

二叉树不超过1000个节点，且节点数值范围是 [-1000000,1000000] 的整数。

示例：

root = [10,5,-3,3,2,null,11,3,-2,null,1], sum = 8

  10
 /  \
5   -3

/ \
3 2 11
/ \
3 -2 1

返回 3。和等于 8 的路径有:

1. 5 -> 3
2. 5 -> 2 -> 1
3. -3 -> 11

/// 437. Path Sum III
/// https://leetcode.com/problems/path-sum-iii/description/
/// 时间复杂度: O(n), n为树的节点个数
/// 空间复杂度: O(h), h为树的高度
class Solution {

    /// Definition for a binary tree node.
    public static class TreeNode {
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }

    // 在以root为根节点的二叉树中,寻找和为sum的路径,返回这样的路径个数
    public int pathSum(TreeNode root, int sum) {

        if(root == null)
            return 0;

        return findPath(root, sum)
                + pathSum(root.left , sum)
                + pathSum(root.right , sum);
    }

    // 在以node为根节点的二叉树中,寻找包含node的路径,和为sum
    // 返回这样的路径个数
    private int findPath(TreeNode node, int num){

        if(node == null)
            return 0;

        int res = 0;
        if(node.val == num)
            res += 1;

        res += findPath(node.left , num - node.val);
        res += findPath(node.right , num - node.val);

        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {

        // 手动创建Leetcode题页上的测试用例。
        // 当然, 有更好的更智能的创建二叉树的方式, 有兴趣的同学可以自行研究编写程序:)

        /*****************
         * 测试用例:
         *
         *       10
         *      /  \
         *     5   -3
         *    / \    \
         *   3   2   11
         *  / \   \
         * 3  -2   1
         *****************/
        TreeNode node1 = new TreeNode(3);
        TreeNode node2 = new TreeNode(-2);

        TreeNode node3 = new TreeNode(3);
        node3.left = node1;
        node3.right = node2;

        TreeNode node4 = new TreeNode(1);
        TreeNode node5 = new TreeNode(2);
        node5.right = node4;

        TreeNode node6 = new TreeNode(5);
        node6.left = node3;
        node6.right = node5;

        TreeNode node7 = new TreeNode(11);
        TreeNode node8 = new TreeNode(-3);
        node8.right = node7;

        TreeNode node9 = new TreeNode(10);
        node9.left = node6;
        node9.right = node8;

        System.out.println((new Solution()).pathSum(node9, 8));
    }
}

7-6 二分搜索树中的问题 Lowest Common Ancestor of a Binary Search Tree

二分搜索树中的递归

二分搜索树：每个节点的键值大于左孩子；每个节点的键值小于右孩子；以左右孩子为根的子树仍然为二分搜索树。

二分搜索树中的基本操作：

- 插入insert

- 查找find

- 删除delete

- 最大值、最小值、minimum、maximum

- 前驱、后继、successor、predecessor

- 上届、下届、floor、ceil

- 某个元素的排名rank

- 寻找第k大（小）的元素select

题目: LeetCode 235. 二叉搜索树的最近公共祖先

给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

    _______6______
   /              \
___2__          ___8__

/ \ /
0 _4 7 9
/
3 5
示例 1:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。
示例 2:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4
输出: 2
解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。
说明:

所有节点的值都是唯一的。
p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中。

/// 235. Lowest Common Ancestor of a Binary Search Tree
/// https://leetcode.com/problems/lowest-common-ancestor-of-a-binary-search-tree/description/
/// 时间复杂度: O(lgn), 其中n为树的节点个数
/// 空间复杂度: O(h), 其中h为树的高度
class Solution {

    // Definition for a binary tree node.
    public class TreeNode {
        int val;
        TreeNode left;
        TreeNode right;
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }

    public TreeNode lowestCommonAncestor(TreeNode root, TreeNode p, TreeNode q) {

        if(p == null || q == null)
            throw new IllegalArgumentException("p or q can not be null.");

        if(root == null)
            return null;

        if(p.val < root.val && q.val < root.val)
            return lowestCommonAncestor(root.left, p, q);
        if(p.val > root.val && q.val > root.val)
            return lowestCommonAncestor(root.right, p, q);

        assert p.val == root.val || q.val == root.val
                || (root.val - p.val) * (root.val - q.val) < 0;

        return root;
    }
}

课后作业: LeetCode 98、450、108、230、236